Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 209

Задача 1

Условие (кратко)

а) Функция y = x² + px + q. Найти p и q, если нули функции — числа 3 и 4 (повышенной трудности).

Решение

Числа 3 и 4 — корни уравнения $$x^2 + px + q = 0$$ . По теореме Виета $$3 + 4 = -p$$ , $3 \cdot 4 = q$ , откуда $$p = -7$$ , $$q = 12$$ .

Проверка: $$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)$$ .

Ответ

p = −7, q = 12

Почему так

Для приведённого квадратного трёхчлена сумма корней равна $$-p$$ , произведение равно $$q$$ .

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Функция y = x² + px + q. Найти p и q, если график пересекает оси координат в точках (0; 6) и (2; 0) (повышенной трудности).

Решение

Точка $(0;\ 6)$ : $$0 + 0 + q = 6$$ , $$q = 6$$ .

Точка $(2;\ 0)$ : $$4 + 2p + 6 = 0$$ , $$p = -5$$ .

Проверка: $$y = x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$ — при $$x = 2$$ значение 0, при $$x = 0$$ значение 6.

Ответ

p = −5, q = 6

Почему так

Точка пересечения с осью $$Oy$$ сразу даёт $$q$$ , а точка на оси $$Ox$$ — уравнение для $$p$$ .

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Функция y = x² + px + q. Найти p и q, если наименьшее значение, равное 24, функция принимает при x = 6 (повышенной трудности).

Решение

Наименьшее значение достигается в вершине, значит, вершина — $(6;\ 24)$ . Тогда

\[y = (x - 6)^2 + 24 = x^2 - 12x + 36 + 24 = x^2 - 12x + 60.\]

$$p = -12$$ , $$q = 60$$ .

Ответ

p = −12, q = 60

Почему так

Зная вершину $(m;\ n)$ параболы с $$a = 1$$ , функцию записывают как $$y = (x - m)^2 + n$$ .

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-2/upr-209/