Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 317

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение x³ − x² − 4(x − 1)² = 0.

Решение

Группируем: $$x^3 - x^2 = x^2(x - 1)$$ . Выносим общий множитель $$x - 1$$ :

x^2(x - 1) - 4(x - 1)^2 = (x - 1)\bigl(x^2 - 4(x - 1)\bigr) = (x - 1)(x^2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)^2.

\((x - 1)(x - 2)^2 = 0\)

, откуда

\(x = 1\)

или

\(x = 2\)

Ответ

x = 1, x = 2

Почему так

Общий множитель $$x - 1$$ выносится за скобки, в скобке остаётся полный квадрат.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение 2y³ + 2y² − (y + 1)² = 0.

Решение

$$2y^3 + 2y^2 = 2y^2(y + 1)$$ , поэтому

\[2y^2(y + 1) - (y + 1)^2 = (y + 1)(2y^2 - y - 1) = 0.\]

\(y + 1 = 0\)

даёт

\(y = -1\)

. Уравнение

\(2y^2 - y - 1 = 0\)

\(D = 1 + 8 = 9\)

y = \dfrac{1 \pm 3}{4}

, то есть

\(y = 1\)

или

y = -\dfrac{1}{2}

Ответ

y = −1, y = −1/2, y = 1

Почему так

Выносим общий множитель $$y + 1$$ и решаем оставшееся квадратное уравнение.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение 5x³ − 19x² − 38x + 40 = 0.

Решение

Ищем целый корень среди делителей свободного члена 40. При $$x = -2$$ получаем $5 \cdot (-8) - 19 \cdot 4 + 76 + 40 = -40 - 76 + 76 + 40 = 0$ — корень.

Делим многочлен на $$x + 2$$ (уголком или по схеме Горнера):

\[5x^3 - 19x^2 - 38x + 40 = (x + 2)(5x^2 - 29x + 20).\]

\(5x^2 - 29x + 20 = 0\)

\(D = 841 - 400 = 441 = 21^2\)

x = \dfrac{29 \pm 21}{10}

, то есть

\(x = 5\)

или

\(x = 0{,}8\)

Ответ

x = −2, x = 0,8, x = 5

Почему так

Целый корень многочлена с целыми коэффициентами — делитель свободного члена; после деления остаётся квадратное уравнение.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение 6x³ − 31x² − 31x + 6 = 0.

Решение

Группируем крайние и средние члены:

\[6(x^3 + 1) - 31x(x + 1) = 6(x + 1)(x^2 - x + 1) - 31x(x + 1) = (x + 1)(6x^2 - 37x + 6).\]

\(x + 1 = 0\)

даёт

\(x = -1\)

. Уравнение

\(6x^2 - 37x + 6 = 0\)

\(D = 1369 - 144 = 1225 = 35^2\)

x = \dfrac{37 \pm 35}{12}

, то есть

\(x = 6\)

или

x = \dfrac{1}{6}

Ответ

x = −1, x = 1/6, x = 6

Почему так

Коэффициенты симметричны, поэтому группируем $$6(x^3+1)$$ и $$-31x(x+1)$$ и выносим $$x + 1$$ .

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-317/