Среди каких чисел нужно искать целые корни уравнения x^3 - 5x^2 + 2x + 6 = 0?

Среди делителей числа 6: ±1, ±2, ±3, ±6

Среди всех целых чисел от −6 до 6

Только среди положительных делителей числа 6

Какие из уравнений возвратные?

$2x^4 + 3x^3 - x^2 + 3x + 2 = 0$

$x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0$

$x^4 + 2x^3 + x^2 + 2x - 1 = 0$

$3x^4 - x^3 + 2x^2 + x + 3 = 0$

Приёмы решения целых уравнений

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Целое уравнение и его корни

Коротко о главном

Уравнение третьей или четвёртой степени сводят к уравнениям меньшей степени. Главные приёмы: подобрать целый корень среди делителей свободного члена и разделить многочлен на $$x - a$$ , ввести новую переменную, а для возвратного уравнения — разделить на $$x^2$$ и сделать замену $y = x + \dfrac{1}{x}$ .

P(a) = 0 \;\Rightarrow\; P(x) = (x - a)\,P_1(x)

Подробное объяснение

Квадратное уравнение решается по готовой формуле. Для уравнения третьей степени школьной формулы нет, а для четвёртой она такая громоздкая, что ею никто не пользуется. Как же быть с уравнением вроде $$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$$ ? Ищут способ понизить степень: превратить одно трудное уравнение в несколько простых.

Схема из трёх столбцов. Подбор целого корня среди делителей свободного члена и деление на (x − a); замена повторяющегося выражения на y; для возвратного уравнения деление на x² и замена y = x + 1/x. — Приём выбирают по виду уравнения, и каждый сводит его к уравнению меньшей степени.

Теорема о корне многочлена

Если число $$a$$ — корень многочлена $$P(x)$$ степени $$n$$ , то $P(x) = (x - a)\,P_1(x)$ , где $$P_1(x)$$ — многочлен степени $$n - 1$$ . Значит, найдя один корень уравнения третьей степени, мы переходим к квадратному уравнению $$P_1(x) = 0$$ . Многочлен $$P_1(x)$$ находят делением $$P(x)$$ на двучлен $$x - a$$ «уголком» — так же, как делят числа столбиком.

Где искать целый корень

Теорема о целых корнях: если у уравнения $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_n = 0$ все коэффициенты целые, свободный член $a_n \ne 0$ и есть целый корень, то этот корень — делитель свободного члена. Почему: подставим корень $$x_0$$ и перенесём всё, кроме $$a_n$$ , вправо. Справа можно вынести $$x_0$$ , в скобке останется целое число, значит, $$a_n$$ делится на $$x_0$$ .

Важно: теорема говорит, где искать, но не обещает, что целый корень есть. Если ни один делитель не подошёл, целых корней нет, а нецелые могут быть.

Замена переменной

Если в уравнении повторяется одно и то же выражение, его обозначают новой буквой. Например, в $$(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12 = 0$$ берём $$y = x^2 + x$$ и получаем квадратное уравнение $$y^2 - 8y + 12 = 0$$ . Иногда выражение надо сначала «увидеть»: $$x^4 - 6x^2 + 9 = (x^2 - 3)^2$$ , а $$x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$$ .

Возвратные уравнения

Уравнение называют возвратным, если его коэффициенты, одинаково удалённые от начала и конца, равны: например, $$1, -5, 6, -5, 1$$ . Для уравнения четвёртой степени делим обе части на $$x^2$$ (ноль не корень, потому что крайний коэффициент не равен нулю), группируем первый член с последним, второй с четвёртым и вводим $y = x + \dfrac{1}{x}$ . Тогда $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = y^2 - 2$ , и получается квадратное уравнение относительно $$y$$ .

Ещё два приёма

Возрастание и убывание. Если уравнение записано как $$f(x) = g(x)$$ , где $$f$$ возрастает, а $$g$$ убывает, то графики пересекаются не больше одного раза. Нашли один корень — других нет.

Синий график возрастающей функции y = x³ и красная убывающая прямая y = 3 − 2x пересекаются ровно в одной точке (1; 1), поэтому у уравнения x³ + 2x − 3 = 0 единственный корень 1. — Возрастающая и убывающая функции пересекаются не больше одного раза.

Сумма квадратов. Сумма $$A^2 + B^2$$ равна нулю, только если $$A = 0$$ и $$B = 0$$ одновременно. Корни уравнения — общие корни двух уравнений, а не все подряд.

Как решать задачи

Посмотрите на вид уравнения: есть ли повторяющееся выражение, симметричны ли коэффициенты, нет ли суммы квадратов.
Если есть повторяющееся выражение — замените его на $$y$$ , решите уравнение для $$y$$ и вернитесь к $$x$$ .
Если уравнение возвратное — разделите на $$x^2$$ и сделайте замену $y = x + \dfrac{1}{x}$ .
Иначе выпишите делители свободного члена и подставляйте их, начиная с $\pm 1$ .
Найдя корень $$a$$ , разделите многочлен на $$x - a$$ и решите уравнение меньшей степени.
Соберите все корни и проверьте хотя бы один подстановкой.

Разобранные примеры

База

Подбор целого корня и деление

Условие

Решите уравнение $$x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$$ .

Решение

Делители свободного члена $$6$$ — это $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6$ . Подставим $$x = 1$$ , получаем $$1 - 2 - 5 + 6 = 0$$ — корень найден.

Разделим многочлен на $$x - 1$$ уголком:

\[x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6).\]

Уравнение $$x^2 - x - 6 = 0$$ по теореме Виета даёт $$x = 3$$ и $$x = -2$$ .

Ответ: −2; 1; 3

Средний

Замена повторяющегося выражения

Условие

Решите уравнение $$(x^2 + 2x)^2 - 2(x^2 + 2x) - 3 = 0$$ .

Решение

Пусть $$y = x^2 + 2x$$ . Тогда $$y^2 - 2y - 3 = 0$$ , $$y_1 = 3$$ , $$y_2 = -1$$ .

Возвращаемся к $$x$$ . Из $$x^2 + 2x = 3$$ получаем $$x^2 + 2x - 3 = 0$$ , $$x = 1$$ или $$x = -3$$ .

Из $$x^2 + 2x = -1$$ получаем $$x^2 + 2x + 1 = 0$$ , $$(x + 1)^2 = 0$$ , $$x = -1$$ .

Ответ: −3; −1; 1

Сложный

Возвратное уравнение

Условие

Решите уравнение $$2x^4 - 5x^3 + 4x^2 - 5x + 2 = 0$$ .

Решение

Коэффициенты $$2, -5, 4, -5, 2$$ симметричны — уравнение возвратное. Число $$0$$ не корень, делим на $$x^2$$ :

2\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - 5\left(x + \dfrac{1}{x}\right) + 4 = 0.

Пусть $y = x + \dfrac{1}{x}$ , тогда $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = y^2 - 2$ :

2(y^2 - 2) - 5y + 4 = 0, \quad 2y^2 - 5y = 0, \quad y(2y - 5) = 0.

Если $$y = 0$$ , то $x + \dfrac{1}{x} = 0$ , $$x^2 + 1 = 0$$ — корней нет.

Если $$y = 2{,}5$$ , то $x + \dfrac{1}{x} = 2{,}5$ , $$2x^2 - 5x + 2 = 0$$ , $$x = 2$$ или $x = \dfrac{1}{2}$ .

Ответ: 1/2; 2

Типичные ошибки

Считают, что раз среди делителей корня нет, то корней нет совсем

Почему неверно

Теорема о целых корнях отвечает только на вопрос о целых корнях. У уравнения $$x^3 + x - 3 = 0$$ ни один делитель числа $$3$$ не подходит, но корень у него есть — он просто не целый.

Как правильно

Пишите «целых корней нет» и решайте дальше другим способом или по условию задачи. Если в задаче спрашивают все корни, перебор делителей — только первый шаг.

Забывают вернуться от y к x

Почему неверно

После замены найдены значения новой переменной, например $$y = 3$$ и $$y = -1$$ . Это не корни исходного уравнения, ведь в нём неизвестное — $$x$$ .

Как правильно

Каждое найденное $$y$$ подставьте в равенство замены ( $$x^2 + 2x = 3$$ , $$x^2 + 2x = -1$$ ) и решите эти уравнения. Ответ записывайте только в $$x$$ .

Пишут x² + 1/x² = y² без «−2»

Почему неверно

При возведении $x + \dfrac{1}{x}$ в квадрат появляется удвоенное произведение $2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} = 2$ . Если его потерять, квадратное уравнение для $$y$$ получится другим и корни будут неверными.

Как правильно

\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}, \quad x^2 + \dfrac{1}{x^2} = y^2 - 2.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите все корни уравнения x³ + x² − 4x − 4 = 0, начав с подбора целого корня.

Подсказка

Целые корни ищите среди делителей числа −4, то есть среди ±1, ±2, ±4.

Решение

Делители свободного члена: $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4$ . Подставим $$x = -1$$ , получаем $$-1 + 1 + 4 - 4 = 0$$ — это корень.

Разделим многочлен на $$x + 1$$ , получаем $$x^3 + x^2 - 4x - 4 = (x + 1)(x^2 - 4)$$ .

Уравнение $$x^2 - 4 = 0$$ даёт $$x = 2$$ и $$x = -2$$ .

Ответ

−2; −1; 2

База Задача 2

Решите уравнение x⁴ − 10x² + 9 = 0, введя новую переменную.

Подсказка

Обозначьте x² = y. Получится квадратное уравнение.

Решение

Пусть $$y = x^2$$ . Тогда $$y^2 - 10y + 9 = 0$$ , по теореме Виета $$y_1 = 1$$ , $$y_2 = 9$$ .

$$x^2 = 1$$ , откуда $x = \pm 1$ ; $$x^2 = 9$$ , откуда $x = \pm 3$ .

Ответ

−3; −1; 1; 3

Средний Задача 3

Решите уравнение x³ − 7x − 6 = 0.

Подсказка

Проверьте делители числа −6. Найдя корень a, разделите многочлен на x − a.

Решение

Делители числа $$-6$$ — это $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6$ . При $$x = -1$$ , получаем $$-1 + 7 - 6 = 0$$ — корень.

Делим уголком: $$x^3 - 7x - 6 = (x + 1)(x^2 - x - 6)$$ .

Уравнение $$x^2 - x - 6 = 0$$ по теореме Виета даёт $$x = 3$$ и $$x = -2$$ .

Ответ

−2; −1; 3

Средний Задача 4

Решите уравнение (x² − 3x)² − 14(x² − 3x) + 40 = 0.

Подсказка

Выражение x² − 3x встречается дважды — обозначьте его y.

Решение

Пусть $$y = x^2 - 3x$$ . Тогда $$y^2 - 14y + 40 = 0$$ , $$y_1 = 4$$ , $$y_2 = 10$$ .

$$x^2 - 3x = 4$$ , то есть $$x^2 - 3x - 4 = 0$$ , $$x = 4$$ или $$x = -1$$ .

$$x^2 - 3x = 10$$ , то есть $$x^2 - 3x - 10 = 0$$ , $$x = 5$$ или $$x = -2$$ .

Ответ

−2; −1; 4; 5

Сложный Задача 5

Решите возвратное уравнение x⁴ + 3x³ − 8x² + 3x + 1 = 0.

Подсказка

Разделите на x², сгруппируйте и сделайте замену y = x + 1/x. Помните, что x² + 1/x² = y² − 2.

Решение

$$x = 0$$ не корень, делим на $$x^2$$ :

\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) + 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right) - 8 = 0.

Пусть $y = x + \dfrac{1}{x}$ , тогда $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = y^2 - 2$ и $$y^2 - 2 + 3y - 8 = 0$$ , то есть $$y^2 + 3y - 10 = 0$$ , $$y_1 = 2$$ , $$y_2 = -5$$ .

$x + \dfrac{1}{x} = 2$ , получаем $$x^2 - 2x + 1 = 0$$ , $$x = 1$$ .

$x + \dfrac{1}{x} = -5$ , получаем $$x^2 + 5x + 1 = 0$$ , $x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$ .

Ответ

1; (−5 − √21)/2; (−5 + √21)/2

Сложный Задача 6

Докажите, что уравнение x³ + 4x − 5 = 0 имеет единственный корень, и найдите его.

Подсказка

Подберите целый корень среди делителей числа −5, а затем сравните, как ведут себя функции y = x³ и y = 5 − 4x.

Решение

Проверим делители числа $$-5$$ : при $$x = 1$$ получаем $$1 + 4 - 5 = 0$$ , значит, $$1$$ — корень.

Запишем уравнение как $$x^3 = 5 - 4x$$ . Функция $$y = x^3$$ возрастает, а $$y = 5 - 4x$$ убывает, поэтому их графики пересекаются не больше чем в одной точке. Значит, других корней нет.

Ответ

Единственный корень 1

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Сравните с замком на чемодане: код нельзя вычислить, но можно перебрать короткий список вариантов. Целые корни ищут так же — только среди делителей свободного члена. Нашли один — «отрезали» его делением, и уравнение стало проще. Замена переменной — как дать длинному выражению короткое имя, чтобы увидеть знакомое квадратное уравнение. Вопросы для проверки понимания: 1) Среди каких чисел искать целые корни уравнения $$x^3 + 2x - 12 = 0$$ ? 2) Зачем после нахождения корня делить многочлен на $$x - a$$ ? 3) Чему равно $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ , если $x + \dfrac{1}{x} = 3$ ? (Ответ: 7.) На что обратить внимание. Ребёнок должен проверять делители с обоими знаками, после замены обязательно возвращаться к $$x$$ и не терять корни второго множителя после деления. Пункт относится к рубрике «Для тех, кто хочет знать больше» — это углублённый материал.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 9 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 18	301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314