Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, Дополнительные упражнения к главе III, задание 320

Условие (кратко)

С помощью графиков выяснить, сколько решений может иметь уравнение x³ + ax + b = 0 при различных значениях a и b.

Решение

Запишем уравнение в виде $$x^3 = -ax - b$$ . Число решений равно числу общих точек кубической параболы $$y = x^3$$ и прямой $$y = -ax - b$$ .

Если $a \ge 0$ , прямая не возрастает, а $$y = x^3$$ возрастает, поэтому общая точка ровно одна — одно решение.
Если $$a < 0$$ , прямая возрастает (угловой коэффициент $$-a > 0$$ ). Сдвигая её вверх-вниз (меняя $$b$$ ), получаем три общие точки, две (прямая касается кубической параболы) или одну.

Например, при $$a = -3$$ : прямая $$y = 3x$$ ( $$b = 0$$ ) даёт три решения $$0$$ , $\pm\sqrt{3}$ ; прямая $$y = 3x + 2$$ ( $$b = -2$$ ) касается графика в точке $$x = -1$$ и пересекает его при $$x = 2$$ — два решения; прямая $$y = 3x + 4$$ ( $$b = -4$$ ) — одно решение.

Кубическая парабола y = x³ и три параллельные прямые: y = 3x пересекает её в трёх точках, y = 3x + 2 касается и пересекает — две точки, y = 3x + 3 — одна точка. — При a < 0 сдвиг прямой y = −ax − b меняет число общих точек с графиком y = x³ от трёх до одной.

Ответ

Одно, два или три решения; при a ≥ 0 — всегда ровно одно

Почему так

Решения — общие точки графиков $$y = x^3$$ и прямой $$y = -ax - b$$ , их может быть 1, 2 или 3.

Подробнее — в теме «Целое уравнение и его корни».

Задание 320

Задача 1