Коротко о главном
Целое уравнение — уравнение, в котором обе части — целые выражения (нет деления на переменную). Его всегда можно привести к виду \(P(x) = 0\), где \(P(x)\) — многочлен стандартного вида; степень этого многочлена — степень уравнения. Уравнение \(n\)-й степени имеет не более \(n\) корней.
Подробное объяснение
Линейные и квадратные уравнения вы уже решаете уверенно. А что делать с уравнением вроде \(x^3 - 4x = 0\) или \(x^4 - 7x^2 - 18 = 0\)? Готовой формулы, как для квадратного, здесь нет. Зато есть приёмы, которые сводят такие уравнения к знакомым.
Какое уравнение называют целым
Выражение называют целым, если в нём нет деления на выражение с переменной. Делить на число можно: \(\dfrac{x + 1}{3}\) — целое выражение, а \(\dfrac{3}{x + 1}\) — нет. Уравнение, обе части которого целые выражения, называют целым.
Любое целое уравнение можно заменить равносильным уравнением \(P(x) = 0\): раскрыть скобки, избавиться от числовых знаменателей (умножить на общий знаменатель), перенести всё влево и привести подобные.
Степень уравнения
Степень целого уравнения — это степень многочлена \(P(x)\) после приведения к стандартному виду. Важно: степень смотрят только после упрощения. Уравнение \(x^3 + x = x^3 - 4\) выглядит как кубическое, но после переноса остаётся \(x + 4 = 0\) — уравнение первой степени.
Сколько корней бывает
- Уравнение первой степени \(ax + b = 0\) (\(a \ne 0\)) имеет ровно один корень \(x = -\dfrac{b}{a}\).
- Квадратное уравнение имеет два корня, один или ни одного — это решает дискриминант \(D = b^2 - 4ac\).
- Уравнение третьей степени имеет не более трёх корней, четвёртой — не более четырёх. Вообще, уравнение \(n\)-й степени имеет не более \(n\) корней. Корней может быть и меньше, и совсем не быть.
На графике корни — точки, где кривая \(y = P(x)\) пересекает ось \(x\).
Для уравнений 3-й и 4-й степени общие формулы корней существуют, но они громоздкие, а для 5-й степени и выше их нет вовсе. Поэтому ищут особенности конкретного уравнения.
Приём 1. Разложение на множители
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю (а остальные при этом имеют смысл). Значит, если левую часть удалось разложить на множители, уравнение распадается на несколько простых — их называют совокупностью уравнений. Корни исходного уравнения — все корни, которые дают уравнения совокупности.
Не путайте с системой: уравнение \(A^2 + B^2 = 0\) требует, чтобы одновременно \(A = 0\) и \(B = 0\) (сумма квадратов равна нулю, только если каждый квадрат равен нулю). Тогда подходят лишь общие корни.
Приём 2. Замена переменной
Если переменная входит в уравнение только в составе одного и того же выражения, его обозначают новой буквой. Так из \((x^2 + 2x)^2 - 2(x^2 + 2x) - 3 = 0\) после замены \(x^2 + 2x = y\) получается квадратное уравнение \(y^2 - 2y - 3 = 0\).
Частый случай — биквадратное уравнение \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) (\(a \ne 0\)). Оно квадратное относительно \(x^2\): замена \(x^2 = y\) даёт \(ay^2 + by + c = 0\). Каждый неотрицательный корень \(y\) даёт корни \(x = \pm\sqrt{y}\), а отрицательный — ни одного.
Как решать задачи
- Приведите уравнение к виду \(P(x) = 0\): раскройте скобки, умножьте на общий знаменатель, перенесите всё влево, приведите подобные.
- Определите степень. Первая или вторая — решайте как линейное или квадратное.
- Степень выше второй — ищите особенность: общий множитель, группировку, формулы сокращённого умножения или повторяющееся выражение для замены.
- После замены решите уравнение относительно новой переменной и обязательно вернитесь к \(x\).
- Соберите все корни, уберите повторы и проверьте, что их не больше степени уравнения.
Разобранные примеры
Степень уравнения после упрощения
Какова степень уравнения \((x^2 + 2)(x^3 - x) = x^5 + 3\)?
Раскроем скобки: \(x^5 - x^3 + 2x^3 - 2x = x^5 + 3\), то есть \(x^5 + x^3 - 2x = x^5 + 3\).
Перенесём всё влево: \(x^5 + x^3 - 2x - x^5 - 3 = 0\), \(x^3 - 2x - 3 = 0\).
Члены \(x^5\) сократились, старшая степень многочлена — третья.
Разложение на множители группировкой
Решите уравнение \(x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0\).
Сгруппируем: \(x^2(x + 2) - 9(x + 2) = 0\), \((x + 2)(x^2 - 9) = 0\), \((x + 2)(x - 3)(x + 3) = 0\).
Получаем совокупность: \(x + 2 = 0\), или \(x - 3 = 0\), или \(x + 3 = 0\). Корни \(-2\), \(3\), \(-3\). Их три — ровно столько, сколько может быть у уравнения третьей степени.
Замена повторяющегося выражения
Решите уравнение \((x^2 + 2x)^2 - 2(x^2 + 2x) - 3 = 0\).
Пусть \(x^2 + 2x = y\). Тогда \(y^2 - 2y - 3 = 0\), корни \(y_1 = 3\), \(y_2 = -1\).
Возвращаемся к \(x\).
Если \(x^2 + 2x = 3\), то \(x^2 + 2x - 3 = 0\), \(x = 1\) или \(x = -3\).
Если \(x^2 + 2x = -1\), то \(x^2 + 2x + 1 = 0\), \((x + 1)^2 = 0\), \(x = -1\).
Итого три корня (уравнение четвёртой степени, корней не больше четырёх — всё сходится).
Типичные ошибки
В уравнении \(x^3 + 5x = x^3 - 1\) ученик видит \(x^3\) и считает его кубическим. Но кубы сокращаются, и остаётся \(5x + 1 = 0\) — уравнение первой степени с одним корнем.
Сначала приведите уравнение к виду \(P(x) = 0\) со стандартным многочленом и только потом смотрите на старшую степень.
В уравнении \(x^4 - 7x^2 - 18 = 0\) после замены \(x^2 = y\) находят \(y = 9\) и \(y = -2\) и пишут их в ответ. Но это значения \(x^2\), а не \(x\). К тому же \(x^2 = -2\) невозможно: квадрат не бывает отрицательным.
Для каждого \(y\) решите уравнение \(x^2 = y\): при \(y = 9\) получаем \(x = \pm 3\), при \(y = -2\) корней нет. Ответ: \(-3\); \(3\).
Из \(x^3 = 4x\) «сокращают» на \(x\) и получают \(x^2 = 4\), \(x = \pm 2\). Корень \(x = 0\) потерян: делить на \(x\) можно, только если \(x \ne 0\).
Переносите всё в одну часть и выносите общий множитель: \(x^3 - 4x = 0\), \(x(x - 2)(x + 2) = 0\), корни \(-2\), \(0\), \(2\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какое из уравнений является целым?
Показать ответ
Ответ: Б) $\dfrac{x - 2}{5} = x^3$
В целом уравнении нет деления на выражение с переменной; деление на число 5 допускается.
-
Какова степень уравнения (x³ + 1)(x² − 2) = x⁵?
Показать ответ
Ответ: 3
Раскроем скобки — \(x^5 - 2x^3 + x^2 - 2 = x^5\), после переноса получится \(-2x^3 + x^2 - 2 = 0\), старшая степень 3.
-
Сколько корней может иметь уравнение четвёртой степени?
Показать ответ
Ответ: Б) Не более четырёх
Уравнение \(n\)-й степени имеет не более \(n\) корней; например, \(x^4 + 1 = 0\) корней не имеет вовсе.
-
Какие утверждения об уравнении x⁴ − 5x² − 36 = 0 верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Это биквадратное уравнение; Б) Заменой y = x² оно сводится к y² − 5y − 36 = 0
Корни \(y^2 - 5y - 36 = 0\) — это \(9\) и \(-4\). \(x^2 = 9\) даёт \(\pm 3\), а \(x^2 = -4\) корней не имеет, поэтому корней два.
-
Сколько корней имеет уравнение x³ − x = 0?
Показать ответ
Ответ: 3
\(x(x - 1)(x + 1) = 0\), корни \(-1\), \(0\) и \(1\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите степень уравнения 3x(x² − 1) = 3x³ + 2x − 5 и решите его.
Подсказка
Раскройте скобки и перенесите всё в левую часть — старшие члены могут сократиться.
Решение
\(3x^3 - 3x = 3x^3 + 2x - 5\), переносим всё влево: \(3x^3 - 3x - 3x^3 - 2x + 5 = 0\), то есть \(-5x + 5 = 0\).
Многочлен в левой части имеет первую степень, значит, это уравнение первой степени. Его корень \(x = 1\).
Ответ
Решите уравнение x³ − 16x = 0.
Подсказка
Вынесите x за скобки, а затем примените разность квадратов.
Решение
\(x(x^2 - 16) = 0\), \(x(x - 4)(x + 4) = 0\).
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: \(x = 0\), или \(x = 4\), или \(x = -4\).
Ответ
Решите биквадратное уравнение x⁴ − 13x² + 36 = 0.
Подсказка
Обозначьте x² = y и решите квадратное уравнение относительно y.
Решение
Пусть \(x^2 = y\). Тогда \(y^2 - 13y + 36 = 0\), \(D = 169 - 144 = 25\), \(y_1 = \dfrac{13 - 5}{2} = 4\), \(y_2 = \dfrac{13 + 5}{2} = 9\).
\(x^2 = 4\), отсюда \(x = \pm 2\); \(x^2 = 9\), отсюда \(x = \pm 3\).
Ответ
Решите уравнение x³ − 3x² − 4x + 12 = 0.
Подсказка
Сгруппируйте первые два и последние два слагаемых.
Решение
\(x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0\), \((x - 3)(x^2 - 4) = 0\), \((x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0\).
Корни: \(x = 3\), \(x = 2\), \(x = -2\).
Ответ
Решите уравнение (x² − 3x)² − 14(x² − 3x) + 40 = 0.
Подсказка
Выражение x² − 3x встречается дважды — обозначьте его новой буквой.
Решение
Пусть \(x^2 - 3x = y\). Тогда \(y^2 - 14y + 40 = 0\), \(y_1 = 4\), \(y_2 = 10\) (по теореме Виета: \(4 + 10 = 14\), \(4 \cdot 10 = 40\)).
\(x^2 - 3x = 4\): \(x^2 - 3x - 4 = 0\), \(x = 4\) или \(x = -1\).
\(x^2 - 3x = 10\): \(x^2 - 3x - 10 = 0\), \(x = 5\) или \(x = -2\).
Ответ
Одно число на 2 больше другого, а разность их кубов равна 98. Найдите эти числа.
Подсказка
Обозначьте меньшее число через n. Куб суммы раскройте по формуле, кубы n³ сократятся.
Решение
Пусть меньшее число \(n\), большее \(n + 2\). Тогда \((n + 2)^3 - n^3 = 98\).
\(n^3 + 6n^2 + 12n + 8 - n^3 = 98\), \(6n^2 + 12n - 90 = 0\), \(n^2 + 2n - 15 = 0\), \(n_1 = 3\), \(n_2 = -5\).
Если \(n = 3\), числа 5 и 3; если \(n = -5\), числа −3 и −5. Проверка: \(125 - 27 = 98\), \(-27 - (-125) = 98\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Напишите \(x^3 - 4x = 0\) и спросите, при каких \(x\) левая часть равна нулю. Потом покажите, что \(x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2)\): произведение равно нулю, когда нулю равен хоть один множитель, — и три корня найдены без формул. Затем запишите \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\), закройте ладонью «лишний» квадрат и прочитайте его как \(y^2 - 5y + 4 = 0\) — это и есть замена переменной.
Вопросы для проверки понимания: 1) Какова степень уравнения \(x^2(x + 1) = x^3 + 4\) и почему? 2) Может ли уравнение пятой степени иметь шесть корней? 3) Что делать с отрицательным \(y\) после замены \(x^2 = y\)?
На что обратить внимание. Ребёнок не должен делить обе части на \(x\) или на скобку с \(x\) — так теряются корни. После замены переменной ответ всегда записывают через исходную букву. И полезная самопроверка: корней не больше, чем степень уравнения.