Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 321

Дополнительные упражнения к главе III

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение (x² + 6x)² − 5(x² + 6x) = 24 введением новой переменной.

Решение

Пусть $$t = x^2 + 6x$$ . Тогда $$t^2 - 5t - 24 = 0$$ , $$t = 8$$ или $$t = -3$$ .

$$x^2 + 6x = 8$$ , то есть $$x^2 + 6x - 8 = 0$$ , $x = -3 \pm \sqrt{9 + 8} = -3 \pm \sqrt{17}$ .
$$x^2 + 6x = -3$$ , то есть $$x^2 + 6x + 3 = 0$$ , $x = -3 \pm \sqrt{9 - 3} = -3 \pm \sqrt{6}$ .

Ответ

x = −3 ± √17, x = −3 ± √6

Почему так

Повторяющееся выражение $$x^2 + 6x$$ заменяем на $$t$$ и получаем квадратное уравнение.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение (x² − 2x − 5)² − 2(x² − 2x − 5) = 3 введением новой переменной.

Решение

Пусть $$t = x^2 - 2x - 5$$ . Тогда $$t^2 - 2t - 3 = 0$$ , $$t = 3$$ или $$t = -1$$ .

$$x^2 - 2x - 5 = 3$$ , то есть $$x^2 - 2x - 8 = 0$$ , $$x = 4$$ или $$x = -2$$ .
$$x^2 - 2x - 5 = -1$$ , то есть $$x^2 - 2x - 4 = 0$$ , $x = 1 \pm \sqrt{5}$ .

Ответ

x = −2, x = 4, x = 1 ± √5

Почему так

Замена $$t = x^2 - 2x - 5$$ сводит уравнение четвёртой степени к квадратному.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение (x² + 3x − 25)² − 2(x² + 3x − 25) = −7 введением новой переменной.

Решение

Пусть $$t = x^2 + 3x - 25$$ . Тогда $$t^2 - 2t + 7 = 0$$ , $$D = 4 - 28 < 0$$ — корней нет.

Значит, и исходное уравнение корней не имеет. (Это видно и так: $$t^2 - 2t + 7 = (t - 1)^2 + 6 > 0$$ .)

Ответ

Корней нет

Почему так

Если вспомогательное уравнение относительно $$t$$ не имеет корней, исходное тоже их не имеет.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение (y + 2)⁴ − (y + 2)² = 12 введением новой переменной.

Решение

Пусть $$t = (y + 2)^2$$ , $t \ge 0$ . Тогда $$t^2 - t - 12 = 0$$ , $$t = 4$$ или $$t = -3$$ .

$$t = -3$$ не подходит: квадрат не бывает отрицательным.

$$(y + 2)^2 = 4$$ , то есть $$y + 2 = 2$$ или $$y + 2 = -2$$ , то есть $$y = 0$$ или $$y = -4$$ .

Ответ

y = −4, y = 0

Почему так

Замена $$t = (y+2)^2$$ даёт биквадратное по сути уравнение; отрицательное $$t$$ отбрасываем.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить уравнение (x² + 2x)(x² + 2x + 2) = 3 введением новой переменной.

Решение

Пусть $$t = x^2 + 2x$$ . Тогда $$t(t + 2) = 3$$ , $$t^2 + 2t - 3 = 0$$ , $$t = 1$$ или $$t = -3$$ .

$$x^2 + 2x = 1$$ , то есть $$x^2 + 2x - 1 = 0$$ , $x = -1 \pm \sqrt{2}$ .
$$x^2 + 2x = -3$$ , то есть $$x^2 + 2x + 3 = 0$$ , $$D = 4 - 12 < 0$$ — корней нет.

Ответ

x = −1 − √2, x = −1 + √2

Почему так

Общая часть множителей $$x^2 + 2x$$ заменяется новой переменной.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить уравнение (x² − x − 16)(x² − x + 2) = 88 введением новой переменной.

Решение

Пусть $$t = x^2 - x$$ . Тогда $$(t - 16)(t + 2) = 88$$ , $$t^2 - 14t - 32 - 88 = 0$$ , $$t^2 - 14t - 120 = 0$$ , $$t = 20$$ или $$t = -6$$ .

$$x^2 - x = 20$$ , то есть $$x^2 - x - 20 = 0$$ , $$x = 5$$ или $$x = -4$$ .
$$x^2 - x = -6$$ , то есть $$x^2 - x + 6 = 0$$ , $$D = 1 - 24 < 0$$ — корней нет.

Ответ

x = −4, x = 5

Почему так

Выражение $$x^2 - x$$ входит в оба множителя — его и заменяем.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Решить уравнение (2x² + 7x − 8)(2x² + 7x − 3) − 6 = 0 введением новой переменной.

Решение

Пусть $$t = 2x^2 + 7x$$ . Тогда $$(t - 8)(t - 3) - 6 = 0$$ , $$t^2 - 11t + 18 = 0$$ , $$t = 9$$ или $$t = 2$$ .

$$2x^2 + 7x - 9 = 0$$ , $$D = 49 + 72 = 121$$ , $x = \dfrac{-7 \pm 11}{4}$ , то есть $$x = 1$$ или $$x = -4{,}5$$ .
$$2x^2 + 7x - 2 = 0$$ , $$D = 49 + 16 = 65$$ , $x = \dfrac{-7 \pm \sqrt{65}}{4}$ .

Ответ

x = −4,5, x = 1, x = (−7 ± √65)/4

Почему так

Замена $$t = 2x^2 + 7x$$ превращает произведение в квадратное уравнение.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-321/