а) Решить уравнение y⁷ − y⁶ + y = 1. (повышенной трудности)
\(y^7 - y^6 + y - 1 = y^6(y - 1) + (y - 1) = (y - 1)(y^6 + 1) = 0\).
\(y^6 + 1 > 0\) при любом \(y\), поэтому \(y - 1 = 0\), \(y = 1\).
Группировка даёт общий множитель \(y - 1\), второй множитель всегда положителен.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».
б) Решить уравнение y⁷ + y⁶ − 27y = 27. (повышенной трудности)
\(y^7 + y^6 - 27y - 27 = y^6(y + 1) - 27(y + 1) = (y + 1)(y^6 - 27) = 0\).
\(y + 1 = 0\) даёт \(y = -1\). \(y^6 = 27\), то есть \((y^2)^3 = 27\), \(y^2 = 3\), \(y = \pm\sqrt{3}\).
Группировка: общий множитель \(y + 1\); затем \(y^6 = 27 \Rightarrow y^2 = 3\).
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-322/