Задача 1
Условие (кратко)
а) Решить уравнение 2x⁷ + x⁶ + 2x⁴ + x³ + 2x + 1 = 0. (повышенной трудности)
Решение
Группируем по парам:
\[x^6(2x + 1) + x^3(2x + 1) + (2x + 1) = (2x + 1)(x^6 + x^3 + 1) = 0.\]
Второй множитель: \(x^6 + x^3 + 1 = \left(x^3 + \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0\), нулём не бывает.
Значит, \(2x + 1 = 0\), \(x = -\dfrac{1}{2}\).
Ответ
x = −1/2
Почему так
Общий множитель \(2x + 1\); второй множитель — квадрат плюс положительное число.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».