Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 324

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти сумму корней биквадратного уравнения x⁴ − 9x² + 18 = 0.

Решение

Пусть $t = x^2 \ge 0$ , тогда $$t^2 - 9t + 18 = 0$$ , $$t = 3$$ или $$t = 6$$ . Корни: $\pm\sqrt{3}$ , $\pm\sqrt{6}$ .

Сумма: $\sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{6} - \sqrt{6} = 0$ .

Ответ

Почему так

Корни биквадратного уравнения попарно противоположны ( $\pm\sqrt{t}$ ), поэтому их сумма равна нулю.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти сумму корней биквадратного уравнения x⁴ + 3x² − 10 = 0.

Решение

$$t = x^2$$ , тогда $$t^2 + 3t - 10 = 0$$ , $$t = 2$$ или $$t = -5$$ (не подходит). Корни: $\pm\sqrt{2}$ .

Сумма: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ .

Ответ

Почему так

Корни биквадратного уравнения попарно противоположны ( $\pm\sqrt{t}$ ), поэтому их сумма равна нулю.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти сумму корней биквадратного уравнения 4x⁴ − 12x² + 1 = 0.

Решение

$$t = x^2$$ , тогда $$4t^2 - 12t + 1 = 0$$ , $$D_1 = 36 - 4 = 32$$ , $t = \dfrac{6 \pm 4\sqrt{2}}{4} = \dfrac{3 \pm 2\sqrt{2}}{2}$ . Оба значения положительны ( $2\sqrt{2} < 3$ ), поэтому корней четыре: $\pm\sqrt{t_1}$ , $\pm\sqrt{t_2}$ .

Они попарно противоположны, сумма равна 0.

Ответ

Почему так

Корни биквадратного уравнения попарно противоположны ( $\pm\sqrt{t}$ ), поэтому их сумма равна нулю.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти сумму корней биквадратного уравнения 12y⁴ − y² − 1 = 0.

Решение

$$t = y^2$$ , тогда $$12t^2 - t - 1 = 0$$ , $$D = 1 + 48 = 49$$ , $t = \dfrac{1 \pm 7}{24}$ , то есть $t = \dfrac{1}{3}$ или $t = -\dfrac{1}{4}$ (не подходит).

Корни: $y = \pm\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ , их сумма равна 0.

Ответ

Почему так

Корни биквадратного уравнения попарно противоположны ( $\pm\sqrt{t}$ ), поэтому их сумма равна нулю.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-324/