Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 325

Задача 1

Условие (кратко)

а) Является ли число √(3 + √5) корнем биквадратного уравнения x⁴ − 6x² + 3 = 0? (повышенной трудности)

Решение

При $x = \sqrt{3 + \sqrt{5}}$ получаем $x^2 = 3 + \sqrt{5}$ , $x^4 = (3 + \sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$ .

x^4 - 6x^2 + 3 = 14 + 6\sqrt{5} - 18 - 6\sqrt{5} + 3 = -1 \ne 0.

Число корнем не является.

Ответ

Нет

Почему так

Подставляем: удобно сначала найти $$x^2$$ , затем $$x^4 = (x^2)^2$$ .

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Является ли число √(5 − √2) корнем биквадратного уравнения x⁴ − 10x² + 23 = 0? (повышенной трудности)

Решение

При $x = \sqrt{5 - \sqrt{2}}$ получаем $x^2 = 5 - \sqrt{2}$ , $x^4 = 25 - 10\sqrt{2} + 2 = 27 - 10\sqrt{2}$ .

x^4 - 10x^2 + 23 = 27 - 10\sqrt{2} - 50 + 10\sqrt{2} + 23 = 0.

Да, число является корнем.

Ответ

Да

Почему так

Подставляем $x^2 = 5 - \sqrt{2}$ и $x^4 = (5 - \sqrt{2})^2$ — получается ноль.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-325/