Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 326

Задача 1

Условие (кратко)

а) Разложить на множители трёхчлен x⁴ − 20x² + 64. (повышенной трудности)

Решение

Пусть $$t = x^2$$ : корни трёхчлена $$t^2 - 20t + 64$$ — $$t = 4$$ и $$t = 16$$ . Значит,

\[x^4 - 20x^2 + 64 = (x^2 - 4)(x^2 - 16) = (x - 2)(x + 2)(x - 4)(x + 4).\]

Ответ

(x − 2)(x + 2)(x − 4)(x + 4)

Почему так

Трёхчлен относительно $$x^2$$ раскладывают через его корни, затем применяют разность квадратов.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Разложить на множители трёхчлен x⁴ − 17x² + 16. (повышенной трудности)

Решение

$$t^2 - 17t + 16 = 0$$ , $$t = 1$$ или $$t = 16$$ .

\[x^4 - 17x^2 + 16 = (x^2 - 1)(x^2 - 16) = (x - 1)(x + 1)(x - 4)(x + 4).\]

Ответ

(x − 1)(x + 1)(x − 4)(x + 4)

Почему так

Корни трёхчлена от $$t = x^2$$ дают разложение $$(x^2 - t_1)(x^2 - t_2)$$ .

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Разложить на множители трёхчлен x⁴ − 5x² − 36. (повышенной трудности)

Решение

$$t^2 - 5t - 36 = 0$$ , $$t = 9$$ или $$t = -4$$ .

\[x^4 - 5x^2 - 36 = (x^2 - 9)(x^2 + 4) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 4).\]

Множитель

\(x^2 + 4\)

дальше не раскладывается (он всегда положителен).

Ответ

(x − 3)(x + 3)(x² + 4)

Почему так

Отрицательный корень $$t = -4$$ даёт неразложимый множитель $$x^2 + 4$$ .

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Разложить на множители трёхчлен x⁴ − 3x² − 4. (повышенной трудности)

Решение

$$t^2 - 3t - 4 = 0$$ , $$t = 4$$ или $$t = -1$$ .

\[x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 1).\]

Ответ

(x − 2)(x + 2)(x² + 1)

Почему так

Раскладываем как квадратный трёхчлен от $$x^2$$ , затем — разность квадратов.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Разложить на множители трёхчлен 9x⁴ − 10x² + 1. (повышенной трудности)

Решение

$$9t^2 - 10t + 1 = 0$$ , $$t = 1$$ или $t = \dfrac{1}{9}$ . Значит, $9t^2 - 10t + 1 = 9(t - 1)\left(t - \dfrac{1}{9}\right) = (t - 1)(9t - 1)$ .

\[9x^4 - 10x^2 + 1 = (x^2 - 1)(9x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1)(3x - 1)(3x + 1).\]

Ответ

(x − 1)(x + 1)(3x − 1)(3x + 1)

Почему так

Старший коэффициент 9 вносим в скобку: $9(t - frac{1}{9}) = 9t - 1$ .

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Разложить на множители трёхчлен 4x⁴ − 17x² + 4. (повышенной трудности)

Решение

$$4t^2 - 17t + 4 = 0$$ , $$D = 289 - 64 = 225$$ , $t = \dfrac{17 \pm 15}{8}$ , то есть $$t = 4$$ или $t = \dfrac{1}{4}$ .

\[4x^4 - 17x^2 + 4 = (x^2 - 4)(4x^2 - 1) = (x - 2)(x + 2)(2x - 1)(2x + 1).\]

Ответ

(x − 2)(x + 2)(2x − 1)(2x + 1)

Почему так

Разложение через корни трёхчлена от $$t = x^2$$ и формулу разности квадратов.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения целых уравнений».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-326/