Задача 1
Условие (кратко)
При каких x разность дробей 1/(x + 2) и 1/(x + 4) равна разности дробей 1/(x + 8) и 1/(x + 20)?
Решение
Упростим каждую разность:
\[\frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 4} = \frac{2}{(x + 2)(x + 4)}, \qquad \frac{1}{x + 8} - \frac{1}{x + 20} = \frac{12}{(x + 8)(x + 20)}.\]
При \(x \ne -2,\ -4,\ -8,\ -20\):
\[2(x + 8)(x + 20) = 12(x + 2)(x + 4), \quad x^2 + 28x + 160 = 6x^2 + 36x + 48,\]
\[5x^2 + 8x - 112 = 0, \quad D = 64 + 2240 = 2304 = 48^2, \quad x = \frac{-8 \pm 48}{10}.\]
\(x = 4\) или \(x = -5{,}6\); оба допустимы.
Ответ
x = −5,6, x = 4
Почему так
Каждую разность приводим к одной дроби и приравниваем; затем отбрасываем нули знаменателей.
Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».