Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Дробное рациональное уравнение — уравнение, в котором есть деление на выражение с переменной. Его сводят к целому уравнению умножением на общий знаменатель, а потом обязательно отбрасывают корни, при которых знаменатель равен нулю.
Подробное объяснение
Представьте, что вы делите пиццу на \(x\) друзей. Если друзей ноль, делить не на кого — выражение \(\dfrac{1}{x}\) при \(x = 0\) просто не имеет смысла. В этом и состоит главная особенность дробных уравнений: у них есть «запрещённые» значения переменной.
Что такое дробное рациональное уравнение
Уравнение, обе части которого — рациональные выражения, называют рациональным. Если в нём нет деления на выражение с переменной, оно целое: \(x^3 - 2x = \dfrac{x}{5}\). Если есть — дробное: \(\dfrac{3}{x - 1} = x + 2\).
Область допустимых значений (ОДЗ)
ОДЗ — все значения переменной, при которых каждая дробь уравнения имеет смысл, то есть все знаменатели не равны нулю. Для уравнения \(\dfrac{x}{x - 2} - \dfrac{4}{x + 2} = \dfrac{8}{x^2 - 4}\) запрещены \(x = 2\) и \(x = -2\). Записывают коротко: \(x \ne \pm 2\).
Общий знаменатель
Чтобы избавиться от дробей, обе части уравнения умножают на общий знаменатель — выражение, которое делится на каждый знаменатель. Удобно сначала разложить знаменатели на множители: \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\), значит, общий знаменатель равен \((x - 2)(x + 2)\). После умножения получается целое уравнение, которое вы уже умеете решать: линейное, квадратное или уравнение высшей степени, решаемое разложением на множители.
Откуда берутся посторонние корни
Умножать обе части на выражение с переменной можно только при тех \(x\), где оно не равно нулю. Целое уравнение «не помнит», что некоторые \(x\) были запрещены, и может выдать корень, при котором знаменатель обращается в нуль. Такой корень называют посторонним: целому уравнению он подходит, а исходному — нет. Поэтому последний шаг — проверка каждого найденного корня по ОДЗ.
Частный случай: уравнение вида \(\dfrac{P(x)}{Q(x)} = 0\). Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Значит, решаем \(P(x) = 0\) и вычёркиваем корни, при которых \(Q(x) = 0\).
Замена переменной
Если в уравнении несколько раз повторяется одно и то же выражение, например \(x^2 + x\) или \(\dfrac{x}{x + 1}\), его обозначают новой буквой \(t\). Получается более простое уравнение относительно \(t\). Найдя \(t\), возвращаются к \(x\) и проверяют корни по ОДЗ исходного уравнения.
Как решать задачи
- Найдите ОДЗ: выпишите знаменатели и значения \(x\), при которых они равны нулю.
- Разложите знаменатели на множители и найдите общий знаменатель.
- Умножьте на него каждое слагаемое обеих частей, включая слагаемые без дроби.
- Решите полученное целое уравнение.
- Сравните каждый корень с ОДЗ: корни, обращающие знаменатель в нуль, отбросьте.
- Запишите ответ. Если все корни оказались посторонними — уравнение корней не имеет.
Разобранные примеры
Дробь равна нулю
Решите уравнение \(\dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} = 0\).
ОДЗ: \(x \ne 3\).
Числитель: \(x^2 - 5x + 6 = 0\). По теореме Виета \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\).
Число \(3\) обращает знаменатель в нуль — оно постороннее. Число \(2\) подходит: \(2 - 3 = -1 \ne 0\).
Общий знаменатель и посторонний корень
Решите уравнение \(\dfrac{x}{x - 2} - \dfrac{4}{x + 2} = \dfrac{8}{x^2 - 4}\).
Разложим знаменатель: \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\). ОДЗ: \(x \ne 2\) и \(x \ne -2\).
Умножим обе части на \((x - 2)(x + 2)\):
Целое уравнение имеет корни \(x = 0\) и \(x = 2\). Число \(2\) не входит в ОДЗ — посторонний корень. Число \(0\) подходит.
Проверка: \(\dfrac{0}{-2} - \dfrac{4}{2} = -2\) и \(\dfrac{8}{-4} = -2\) — верно.
Замена переменной
Решите уравнение \(\dfrac{x^2 + 1}{x} + \dfrac{x}{x^2 + 1} = \dfrac{5}{2}\).
ОДЗ: \(x \ne 0\) (выражение \(x^2 + 1\) всегда положительно).
Пусть \(t = \dfrac{x^2 + 1}{x}\). Тогда \(t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{5}{2}\). Умножим на \(2t\) и получим \(2t^2 + 2 = 5t\), \(2t^2 - 5t + 2 = 0\). \(D = 25 - 16 = 9\), \(t_1 = \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2}\), \(t_2 = \dfrac{5 + 3}{4} = 2\).
-
\(\dfrac{x^2 + 1}{x} = 2\), откуда \(x^2 + 1 = 2x\), \((x - 1)^2 = 0\), \(x = 1\).
-
\(\dfrac{x^2 + 1}{x} = \dfrac{1}{2}\), откуда \(2x^2 - x + 2 = 0\), \(D = 1 - 16 < 0\) — корней нет.
Число \(1\) входит в ОДЗ.
Типичные ошибки
После умножения на общий знаменатель получается целое уравнение, у которого могут быть «лишние» корни. В уравнении \(\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 0\) ученик пишет ответ \(x = \pm 2\), но при \(x = 2\) знаменатель равен нулю, и дробь не имеет смысла.
Перед решением выписать ОДЗ, а в конце сверить с ней каждый корень. В примере остаётся только \(x = -2\).
В уравнении \(\dfrac{6}{x} - 1 = \dfrac{2}{x}\) часто пишут \(6 - 1 = 2\) — забывают, что «\(-1\)» тоже надо умножить на \(x\). Получается неверное равенство или неверный корень.
Умножить каждое слагаемое обеих частей: \(6 - x = 2\), откуда \(x = 4\); \(4 \ne 0\), корень подходит.
В записи \(\dfrac{3}{x} - \dfrac{x - 2}{x} = 1\) после умножения на \(x\) пишут \(3 - x - 2 = x\). Но минус стоит перед всей дробью, то есть перед всем числителем \(x - 2\).
Брать числитель в скобки: \(3 - (x - 2) = x\), \(5 - x = x\), \(x = 2{,}5\). Корень не равен нулю — подходит.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какое из чисел точно не может быть корнем уравнения \(\dfrac{x + 1}{x - 4} = \dfrac{2}{x + 5}\)?
Показать ответ
Ответ: В) 4
При \(x = 4\) знаменатель \(x - 4\) равен нулю, дробь не имеет смысла, поэтому \(4\) не входит в ОДЗ.
-
Какие значения \(x\) не входят в область допустимых значений уравнения \(\dfrac{3}{x^2 - 9} = \dfrac{1}{x}\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) −3; Б) 0; В) 3
Знаменатели \(x^2 - 9\) и \(x\) равны нулю при \(x = \pm 3\) и \(x = 0\). Число \(9\) допустимо.
-
Найдите корень уравнения \(\dfrac{x^2 - 16}{x + 4} = 0\).
Показать ответ
Ответ: 4
Числитель равен нулю при \(x = \pm 4\), но при \(x = -4\) знаменатель тоже равен нулю. Остаётся \(x = 4\).
-
Зачем после умножения на общий знаменатель проверять найденные корни?
Показать ответ
Ответ: А) Могли появиться посторонние корни, обращающие знаменатель в нуль
Умножение на выражение с переменной может добавить корни, при которых это выражение равно нулю; их надо отбросить.
-
Сколько корней имеет уравнение \(\dfrac{x^2 - 5x + 4}{x - 1} = 0\)?
Показать ответ
Ответ: 1
Числитель равен нулю при \(x = 1\) и \(x = 4\), но \(x = 1\) обращает знаменатель в нуль. Корень один — \(x = 4\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Решите уравнение \(\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = 0\).
Подсказка
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
Решение
ОДЗ: \(x + 3 \ne 0\), то есть \(x \ne -3\).
Числитель: \(x^2 - 9 = 0\), откуда \(x = 3\) или \(x = -3\).
Число \(-3\) обращает знаменатель в нуль и не входит в ОДЗ — это посторонний корень. Число \(3\) подходит: знаменатель равен \(6 \ne 0\).
Ответ
Решите уравнение \(\dfrac{5}{x - 2} = \dfrac{3}{x}\).
Подсказка
Воспользуйтесь основным свойством пропорции, но сначала запишите ОДЗ.
Решение
ОДЗ: \(x \ne 2\) и \(x \ne 0\).
По свойству пропорции \(5x = 3(x - 2)\), то есть \(5x = 3x - 6\), \(2x = -6\), \(x = -3\).
Число \(-3\) входит в ОДЗ: знаменатели равны \(-5\) и \(-3\).
Ответ
Решите уравнение \(\dfrac{2}{x - 3} + \dfrac{x}{x + 3} = \dfrac{12}{x^2 - 9}\).
Подсказка
Общий знаменатель — \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\).
Решение
ОДЗ: \(x \ne 3\) и \(x \ne -3\).
Умножим обе части на \((x - 3)(x + 3)\):
Корень \(3\) не входит в ОДЗ — он посторонний. Корень \(-2\) подходит.
Ответ
Решите уравнение \(\dfrac{12}{x} - \dfrac{12}{x + 1} = 1\).
Подсказка
Умножьте обе части на \(x(x + 1)\) и не забудьте умножить правую часть.
Решение
ОДЗ: \(x \ne 0\) и \(x \ne -1\).
Умножим обе части на \(x(x + 1)\):
Оба числа входят в ОДЗ.
Ответ
Решите уравнение \(\left(\dfrac{x}{x + 1}\right)^2 - 5 \cdot \dfrac{x}{x + 1} + 6 = 0\).
Подсказка
Обозначьте \(t = \dfrac{x}{x + 1}\).
Решение
ОДЗ: \(x \ne -1\).
Пусть \(t = \dfrac{x}{x + 1}\). Тогда \(t^2 - 5t + 6 = 0\), откуда \(t = 2\) или \(t = 3\).
-
\(\dfrac{x}{x + 1} = 2\), откуда \(x = 2x + 2\), \(x = -2\).
-
\(\dfrac{x}{x + 1} = 3\), откуда \(x = 3x + 3\), \(x = -1{,}5\).
Оба числа не равны \(-1\), значит, входят в ОДЗ.
Ответ
При каких значениях \(a\) уравнение \(\dfrac{x^2 - a}{x - 1} = 0\) имеет ровно один корень?
Подсказка
Решите \(x^2 = a\) и посмотрите, когда один из корней совпадает с запрещённым значением \(x = 1\).
Решение
ОДЗ: \(x \ne 1\). Дробь равна нулю, когда \(x^2 = a\).
- При \(a < 0\) корней нет.
- При \(a = 0\) один корень \(x = 0\), он входит в ОДЗ — подходит.
- При \(a > 0\) два корня \(x = \pm\sqrt{a}\). Ровно один из них останется, если другой равен \(1\), то есть \(\sqrt{a} = 1\), \(a = 1\). Тогда корень \(x = 1\) посторонний, остаётся \(x = -1\).
При остальных \(a > 0\) корней два.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги и спросите: «На сколько частей разрезать лист, если частей ноль?» Ребёнок поймёт, что делить на ноль нельзя. Затем решите вместе \(\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = 0\): числитель обнуляется при \(x = 1\) и \(x = -1\), но при \(x = 1\) получается «деление на ноль». Значит, ответ — только \(-1\). Вся тема — это обычное решение уравнения плюс обязательная проверка в конце.
Вопросы для проверки понимания: 1) Чем дробное уравнение отличается от целого? 2) Что такое посторонний корень и откуда он берётся? 3) Когда дробь равна нулю?
На что обратить внимание. Пусть ребёнок всегда начинает решение со строки «ОДЗ: …» и заканчивает проверкой каждого корня. Самая частая потеря баллов на контрольной — верно решённое целое уравнение с посторонним корнем в ответе.