Задача 1
Условие (кратко)
а) Решить уравнение (x² − 5x + 3)/(x − 5) − (x² + 5x + 1)/(x + 5) = 1/4, выделяя целую часть из дробей. (повышенной трудности)
Решение
Выделим целую часть: \(x^2 - 5x + 3 = x(x - 5) + 3\) и \(x^2 + 5x + 1 = x(x + 5) + 1\), поэтому
\[\frac{x^2 - 5x + 3}{x - 5} = x + \frac{3}{x - 5}, \qquad \frac{x^2 + 5x + 1}{x + 5} = x + \frac{1}{x + 5}.\]
Слагаемые \(x\) взаимно уничтожаются, и уравнение принимает вид
\[\frac{3}{x - 5} - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{4}.\]
При \(x \ne \pm 5\) умножаем на \(4(x - 5)(x + 5)\), получаем \(12(x + 5) - 4(x - 5) = x^2 - 25\), \(8x + 80 = x^2 - 25\), \(x^2 - 8x - 105 = 0\).
\(D_1 = 16 + 105 = 121\), \(x = 4 \pm 11\), то есть \(x = 15\) или \(x = -7\). Оба допустимы.
Ответ
x = −7, x = 15
Почему так
После выделения целой части \(x\) сокращается и остаётся простое дробное уравнение.
Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».