Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 330

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти корни уравнения 1/(x² − 6x + 8) − 1/(x − 2) + 10/(x² − 4) = 0.

Решение

Раскладываем знаменатели: $$x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$$ , $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ . Допустимые значения: $x \ne 2,\ 4,\ -2$ .

Умножаем на общий знаменатель $$(x - 2)(x - 4)(x + 2)$$ :

\[(x + 2) - (x - 4)(x + 2) + 10(x - 4) = 0,\]

x + 2 - x^2 + 2x + 8 + 10x - 40 = 0, \quad x^2 - 13x + 30 = 0.

\(x = 3\)

или

\(x = 10\)

(по теореме Виета). Оба допустимы.

Ответ

x = 3, x = 10

Почему так

Приводим к общему знаменателю, решаем целое уравнение и исключаем нули знаменателей.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти корни уравнения 3/(x² − x − 6) + 3/(x + 2) = 7/(x² − 9).

Решение

$$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$ , $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$ . Допустимые значения: $x \ne 3,\ -2,\ -3$ .

Умножаем на $$(x - 3)(x + 2)(x + 3)$$ :

\[3(x + 3) + 3(x - 3)(x + 3) = 7(x + 2),\]

3x + 9 + 3x^2 - 27 = 7x + 14, \quad 3x^2 - 4x - 32 = 0.

\(D = 16 + 384 = 400\)

x = \dfrac{4 \pm 20}{6}

, то есть

\(x = 4\)

или

x = -\dfrac{8}{3} = -2\dfrac{2}{3}

. Оба допустимы.

Проверка корня $-2\dfrac{2}{3}$ подстановкой подтверждает его. В ответах учебника он напечатан без минуса — «2 2/3»; это опечатка, число $2\dfrac{2}{3}$ уравнению не удовлетворяет.

Ответ

x = −2 2/3, x = 4

Почему так

Общий знаменатель $$(x - 3)(x + 2)(x + 3)$$ сводит уравнение к квадратному.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-330/