Задача 1
Условие (кратко)
Решить уравнение 1/(x³ − x² + x − 1) + (4x² + 21)/(x³ + x² + x + 1) = (4x³ − 3x² + 14x − 4)/(x⁴ − 1). (повышенной трудности)
Решение
Раскладываем знаменатели группировкой:
\[x^3 - x^2 + x - 1 = (x - 1)(x^2 + 1), \quad x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^2 + 1), \quad x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1).\]
Допустимые значения: \(x \ne \pm 1\). Умножаем на \(x^4 - 1\):
\[(x + 1) + (4x^2 + 21)(x - 1) = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4,\]
\[4x^3 - 4x^2 + 22x - 20 = 4x^3 - 3x^2 + 14x - 4, \quad x^2 - 8x + 16 = 0, \quad (x - 4)^2 = 0.\]
\(x = 4\) — допустимое значение.
Ответ
x = 4
Почему так
Знаменатели раскладываются на множители, общий знаменатель — \(x^4 - 1\); кубы сокращаются.
Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».