Задача 1
Условие (кратко)
а) Найти корни уравнения x² = (7x − 4)/(4x − 7). (повышенной трудности)
Решение
При \(x \ne \dfrac{7}{4}\) получаем \(x^2(4x - 7) = 7x - 4\), \(4x^3 - 7x^2 - 7x + 4 = 0\).
Коэффициенты симметричны, группируем: \(4(x^3 + 1) - 7x(x + 1) = (x + 1)(4x^2 - 4x + 4 - 7x) = (x + 1)(4x^2 - 11x + 4)\).
\(x = -1\) или \(4x^2 - 11x + 4 = 0\), \(D = 121 - 64 = 57\), \(x = \dfrac{11 \pm \sqrt{57}}{8}\). Ни один корень не равен \(\dfrac{7}{4}\).
Ответ
x = −1, x = (11 ± √57)/8
Почему так
Получается возвратное кубическое уравнение с корнем −1; группировка выделяет множитель \(x + 1\).
Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».