Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 333

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение (x² + 1)/x + x/(x² + 1) = 2 1/2, обозначив одно слагаемое через t, а другое через 1/t.

Решение

Пусть $t = \dfrac{x^2 + 1}{x}$ , тогда второе слагаемое равно $\dfrac{1}{t}$ :

t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}, \quad 2t^2 - 5t + 2 = 0, \quad t = 2 \text{ или } t = \frac{1}{2}.

$\dfrac{x^2 + 1}{x} = 2$ , то есть $$x^2 - 2x + 1 = 0$$ , $$x = 1$$ .
$\dfrac{x^2 + 1}{x} = \dfrac{1}{2}$ , то есть $$2x^2 - x + 2 = 0$$ , $$D = 1 - 16 < 0$$ — корней нет.

Ответ

x = 1

Почему так

Слагаемые взаимно обратны, замена $$t$$ и $$1/t$$ даёт квадратное уравнение.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение (x² + 2)/(3x − 2) + (3x − 2)/(x² + 2) = 2 1/6, обозначив одно слагаемое через t, а другое через 1/t.

Решение

Пусть $t = \dfrac{x^2 + 2}{3x - 2}$ :

t + \frac{1}{t} = \frac{13}{6}, \quad 6t^2 - 13t + 6 = 0, \quad D = 169 - 144 = 25, \quad t = \frac{3}{2} \text{ или } t = \frac{2}{3}.

$$2(x^2 + 2) = 3(3x - 2)$$ , то есть $$2x^2 - 9x + 10 = 0$$ , $$x = 2$$ или $x = \dfrac{5}{2}$ .
$$3(x^2 + 2) = 2(3x - 2)$$ , то есть $$3x^2 - 6x + 10 = 0$$ , $$D_1 = 9 - 30 < 0$$ — корней нет.

При $$x = 2$$ и $$x = 2{,}5$$ знаменатель $3x - 2 \ne 0$ .

Ответ

x = 2, x = 2 1/2

Почему так

Замена $$t + 1/t$$ сводит задачу к квадратному уравнению и двум простым дробным.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-333/