Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 334

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение x⁴/(x² − 2) + (1 − 4x²)/(2 − x²) + 4 = 0 подстановкой y = x².

Решение

Пусть $$y = x^2$$ , $y \ne 2$ . Так как $$2 - y = -(y - 2)$$ :

\frac{y^2}{y - 2} - \frac{1 - 4y}{y - 2} + 4 = 0 \;\Rightarrow\; y^2 - 1 + 4y + 4(y - 2) = 0, \quad y^2 + 8y - 9 = 0.

\(y = 1\)

или

\(y = -9\)

. Значение

\(y = -9\)

не подходит (

x^2 \ge 0

$$x^2 = 1$$ , $x = \pm 1$ .

Ответ

x = −1, x = 1

Почему так

Знаменатель $$2 - x^2$$ меняем на $$-(x^2 - 2)$$ , подстановка $$y = x^2$$ даёт квадратное уравнение.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение (x² + 3)/(x² + 1) + 2/(x² − 4) + 10/(x⁴ − 3x² − 4) = 0 подстановкой y = x².

Решение

Пусть $$y = x^2$$ . Тогда $$x^4 - 3x^2 - 4 = y^2 - 3y - 4 = (y - 4)(y + 1)$$ ; допустимо $y \ne 4$ , $y \ne -1$ .

Умножаем на $$(y + 1)(y - 4)$$ :

(y + 3)(y - 4) + 2(y + 1) + 10 = 0, \quad y^2 - y - 12 + 2y + 2 + 10 = 0, \quad y^2 + y = 0.

\(y = 0\)

или

\(y = -1\)

;

\(y = -1\)

не допустимо (и

x^2 \ne -1

). Остаётся

\(x^2 = 0\)

\(x = 0\)

Ответ

x = 0

Почему так

Знаменатель $$x^4 - 3x^2 - 4$$ раскладывается в $$(x^2 - 4)(x^2 + 1)$$ — общий знаменатель.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-334/