Задача 1
Условие (кратко)
а) Решить уравнение ((x + 1)/(x − 2))² − 16((x − 2)/(x + 1))² = 15.
Решение
Пусть \(t = \left(\dfrac{x + 1}{x - 2}\right)^2\), \(t > 0\) (при \(x \ne 2\), \(x \ne -1\)). Второй квадрат равен \(\dfrac{1}{t}\):
\[t - \frac{16}{t} = 15, \quad t^2 - 15t - 16 = 0, \quad t = 16 \text{ или } t = -1.\]
\(t = -1\) не подходит. \(\left(\dfrac{x + 1}{x - 2}\right)^2 = 16\), значит \(\dfrac{x + 1}{x - 2} = \pm 4\).
-
\(x + 1 = 4x - 8\), \(x = 3\).
-
\(x + 1 = -4x + 8\), \(x = \dfrac{7}{5} = 1{,}4\).
Ответ
x = 1,4, x = 3
Почему так
Квадраты взаимно обратных дробей: замена \(t\) и \(1/t\).
Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».