Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 336

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение 2(x² + 1/x²) − (x + 1/x) = 2 введением новой переменной. (повышенной трудности)

Решение

Пусть $t = x + \dfrac{1}{x}$ , тогда $t^2 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}$ , то есть $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$ .

2(t^2 - 2) - t = 2, \quad 2t^2 - t - 6 = 0, \quad D = 1 + 48 = 49, \quad t = 2 \text{ или } t = -\frac{3}{2}.

$x + \dfrac{1}{x} = 2$ , то есть $$x^2 - 2x + 1 = 0$$ , $$x = 1$$ .
$x + \dfrac{1}{x} = -\dfrac{3}{2}$ , то есть $$2x^2 + 3x + 2 = 0$$ , $$D = 9 - 16 < 0$$ — корней нет.

Ответ

x = 1

Почему так

Сумма квадратов выражается через $$t = x + 1/x$$ , а именно $$x^2 + 1/x^2 = t^2 - 2$$ .

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение 9x² − 18x + 9/x² − 18/x = 22 введением новой переменной. (повышенной трудности)

Решение

Группируем: $9\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - 18\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = 22$ . Пусть $t = x + \dfrac{1}{x}$ , тогда $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$ :

9t^2 - 18 - 18t = 22, \quad 9t^2 - 18t - 40 = 0, \quad D_1 = 81 + 360 = 441, \quad t = \frac{9 \pm 21}{9}.

t = \dfrac{10}{3}

или

t = -\dfrac{4}{3}

$x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{10}{3}$ , то есть $$3x^2 - 10x + 3 = 0$$ , $$x = 3$$ или $x = \dfrac{1}{3}$ .
$x + \dfrac{1}{x} = -\dfrac{4}{3}$ , то есть $$3x^2 + 4x + 3 = 0$$ , $$D_1 = 4 - 9 < 0$$ — корней нет.

Ответ

x = 1/3, x = 3

Почему так

Группируем слагаемые в $$x^2 + 1/x^2$$ и $$x + 1/x$$ и заменяем $$t = x + 1/x$$ .

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-336/