Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, Дополнительные упражнения к главе III, задание 337

Условие (кратко)

При каких значениях a сумма чисел a и 1/a в 3 1/4 раза меньше суммы их кубов? (повышенной трудности)

Решение

Дано

числа $$a$$ и $\dfrac{1}{a}$
$a^3 + \dfrac{1}{a^3} = 3\dfrac{1}{4}\left(a + \dfrac{1}{a}\right)$

Найти

$$a$$

Пусть $t = a + \dfrac{1}{a}$ . Сумма кубов: $a^3 + \dfrac{1}{a^3} = \left(a + \dfrac{1}{a}\right)\left(a^2 - 1 + \dfrac{1}{a^2}\right) = t(t^2 - 3)$ .

t(t^2 - 3) = \frac{13}{4}t.

\(t = 0\)

невозможно (

a + \dfrac{1}{a} = 0

не имеет решений), поэтому

t^2 - 3 = \dfrac{13}{4}

,

t^2 = \dfrac{25}{4}

,

t = \pm\dfrac{5}{2}

.

$a + \dfrac{1}{a} = \dfrac{5}{2}$ , то есть $$2a^2 - 5a + 2 = 0$$ , $$a = 2$$ или $a = \dfrac{1}{2}$ .
$a + \dfrac{1}{a} = -\dfrac{5}{2}$ , то есть $$a = -2$$ или $a = -\dfrac{1}{2}$ .

Сравнение «в … раза меньше» имеет смысл для положительных величин: меньшее число получается делением большего на $3\dfrac{1}{4}$ . При $$a = -2$$ и $a = -\dfrac{1}{2}$ сумма чисел равна $-\dfrac{5}{2}$ , а сумма кубов равна $-\dfrac{65}{8}$ ; хотя $-\dfrac{65}{8} = 3\dfrac{1}{4} \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\right)$ , сумма чисел здесь больше суммы кубов ( $-\dfrac{5}{2} > -\dfrac{65}{8}$ ), а не меньше. Поэтому отрицательные значения не подходят.

Проверка для $$a = 2$$ : $a + \dfrac{1}{a} = \dfrac{5}{2}$ , $a^3 + \dfrac{1}{a^3} = 8 + \dfrac{1}{8} = \dfrac{65}{8} = 3\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{5}{2}$ .

Ответ

a = 2, a = 1/2

Почему так

Сумма кубов $$a^3 + 1/a^3$$ выражается через $$t = a + 1/a$$ как $$t^3 - 3t$$ .

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задание 337

Задача 1