Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 338

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение x³ + 1/x³ = 22(x + 1/x). (повышенной трудности)

Решение

Пусть $t = x + \dfrac{1}{x}$ , тогда $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = t^3 - 3t$ :

t^3 - 3t = 22t, \quad t(t^2 - 25) = 0.

\(t = 0\)

невозможно, поэтому

\(t = 5\)

или

\(t = -5\)

$$x^2 - 5x + 1 = 0$$ , $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{21}}{2} = 2{,}5 \pm \sqrt{5{,}25}$ .
$$x^2 + 5x + 1 = 0$$ , $x = \dfrac{-5 \pm \sqrt{21}}{2} = -2{,}5 \pm \sqrt{5{,}25}$ .

Ответ

x = (5 ± √21)/2, x = (−5 ± √21)/2

Почему так

Сумма кубов через $$t = x + 1/x$$ равна $$t^3 - 3t$$ .

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение x³ − 1/x³ = 19(x − 1/x). (повышенной трудности)

Решение

Пусть $s = x - \dfrac{1}{x}$ , тогда $s^3 = x^3 - 3x + \dfrac{3}{x} - \dfrac{1}{x^3}$ , то есть $x^3 - \dfrac{1}{x^3} = s^3 + 3s$ :

s^3 + 3s = 19s, \quad s(s^2 - 16) = 0, \quad s = 0,\ 4 \text{ или } -4.

$x - \dfrac{1}{x} = 0$ , $$x^2 = 1$$ , $x = \pm 1$ .
$x - \dfrac{1}{x} = 4$ , то есть $$x^2 - 4x - 1 = 0$$ , $x = 2 \pm \sqrt{5}$ .
$x - \dfrac{1}{x} = -4$ , то есть $$x^2 + 4x - 1 = 0$$ , $x = -2 \pm \sqrt{5}$ .

Ответ

x = ±1, x = 2 ± √5, x = −2 ± √5

Почему так

Разность кубов через $$s = x - 1/x$$ равна $$s^3 + 3s$$ ; здесь $$s = 0$$ даёт корни.

Подробнее — в теме «Дробные рациональные уравнения».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-338/