Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, Дополнительные упражнения к главе III, задание 339

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить неравенство x² − 5x − 50 < 0.

Решение

Корни трёхчлена $$x^2 - 5x - 50$$ по теореме Виета — $$x = 10$$ и $$x = -5$$ (сумма 5, произведение −50).

Ветви параболы направлены вверх, значения меньше нуля — между корнями.

Ответ

(−5; 10)

Почему так

Решаем квадратное неравенство: находим корни трёхчлена и по направлению ветвей параболы выбираем промежутки.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить неравенство −m² − 8m + 9 ≥ 0.

Решение

Умножаем на $$-1$$ и меняем знак неравенства: $m^2 + 8m - 9 \le 0$ .

Корни $$m = 1$$ и $$m = -9$$ . Парабола $$y = m^2 + 8m - 9$$ ветвями вверх, не выше оси — на отрезке между корнями, концы включаем.

Ответ

[−9; 1]

Почему так

При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить неравенство 3y² + 4y − 4 > 0.

Решение

$$3y^2 + 4y - 4 = 0$$ , $$D = 16 + 48 = 64$$ , $y = \dfrac{-4 \pm 8}{6}$ , то есть $y = \dfrac{2}{3}$ или $$y = -2$$ .

Ветви вверх, трёхчлен положителен вне промежутка между корнями.

Ответ

(−∞; −2) ∪ (2/3; +∞)

Почему так

Решаем квадратное неравенство: находим корни трёхчлена и по направлению ветвей параболы выбираем промежутки.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить неравенство 8p² + 2p ≥ 21.

Решение

$8p^2 + 2p - 21 \ge 0$ . $$D = 4 + 672 = 676 = 26^2$$ , $p = \dfrac{-2 \pm 26}{16}$ , то есть $$p = 1{,}5$$ или $$p = -1{,}75$$ .

Ветви вверх, трёхчлен неотрицателен левее меньшего корня и правее большего (корни включаем).

Ответ

(−∞; −1,75] ∪ [1,5; +∞)

Почему так

Решаем квадратное неравенство: находим корни трёхчлена и по направлению ветвей параболы выбираем промежутки.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить неравенство 12x − 9 ≤ 4x².

Решение

$4x^2 - 12x + 9 \ge 0$ , то есть $(2x - 3)^2 \ge 0$ .

Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому неравенство верно при всех $$x$$ .

Ответ

x — любое число

Почему так

Трёхчлен — полный квадрат, а квадрат всегда неотрицателен.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить неравенство −9x² < 1 − 6x.

Решение

$$9x^2 - 6x + 1 > 0$$ , то есть $$(3x - 1)^2 > 0$$ .

Квадрат положителен при всех $$x$$ , кроме того, при котором $$3x - 1 = 0$$ , то есть $x = \dfrac{1}{3}$ .

Ответ

x ≠ 1/3 (любое число, кроме 1/3)

Почему так

Строгое неравенство $$(3x-1)^2 > 0$$ нарушается только там, где квадрат равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».