Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Чтобы решить неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\) (или \(< 0\)), находят корни трёхчлена, схематически рисуют параболу \(y = ax^2 + bx + c\) и выбирают те \(x\), где она выше оси \(x\) (или ниже).
Подробное объяснение
Представьте, что парабола — это дорога через холмы, а ось \(x\) — уровень воды. Вопрос «где \(x^2 - x - 6 > 0\)?» значит: на каких участках дорога над водой. Чтобы ответить, не нужно знать высоту каждой точки. Достаточно знать, где дорога уходит под воду и выходит из неё, и в какую сторону она изгибается.
Что такое неравенство второй степени
Неравенство вида \(ax^2 + bx + c > 0\) или \(ax^2 + bx + c < 0\), где \(a \ne 0\), называют неравенством второй степени с одной переменной. Знаки бывают и нестрогими: \(\geqslant\), \(\leqslant\). Слева стоит квадратный трёхчлен, а значит, левая часть — это функция \(y = ax^2 + bx + c\), графиком которой служит парабола.
Решить неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\) — значит найти все \(x\), при которых \(y > 0\), то есть точки параболы лежат выше оси \(x\). Для знака \(<\) ищут точки ниже оси.
Что нужно знать о параболе
Точный график не нужен — хватает эскиза. Важны две вещи.
- Направление ветвей. При \(a > 0\) ветви идут вверх, при \(a < 0\) — вниз.
- Общие точки с осью \(x\) — корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\). Их число зависит от дискриминанта.
На схеме — трёхчлен \(x^2 - x - 6\) с корнями \(-2\) и \(3\). Ветви вверх, поэтому парабола ниже оси между корнями и выше оси — левее \(-2\) и правее \(3\). Сами корни в строгие неравенства не входят: там значение равно нулю.
Три случая
Пусть \(a > 0\) (если \(a < 0\), удобно умножить неравенство на \(-1\) и сменить знак на противоположный).
- \(D > 0\), два корня \(x_1 < x_2\). Трёхчлен отрицателен между корнями и положителен вне отрезка между ними.
- \(D = 0\), один корень \(x_0\). Парабола касается оси. Трёхчлен положителен везде, кроме \(x_0\), а отрицательным не бывает.
- \(D < 0\), корней нет. Парабола целиком выше оси: трёхчлен положителен при любом \(x\), неравенство со знаком \(<\) решений не имеет.
Для нестрогих знаков добавляются точки, где трёхчлен равен нулю. Например, \((x - 2)^2 \leqslant 0\) выполняется ровно при \(x = 2\).
Как решать задачи
- Перенесите всё в одну часть, раскройте скобки и приведите неравенство к виду \(ax^2 + bx + c > 0\) (или \(<\), \(\geqslant\), \(\leqslant\)).
- Если \(a < 0\), умножьте обе части на \(-1\) и смените знак неравенства. Так ветви всегда будут вверх.
- Найдите дискриминант и корни трёхчлена (для неполных трёхчленов удобнее разложить на множители: \(x^2 - 4x = x(x - 4)\)).
- Отметьте корни на оси \(x\) и нарисуйте эскиз параболы.
- Выберите промежутки, где парабола выше оси (знак \(>\)) или ниже оси (знак \(<\)).
- Решите, входят ли корни: при строгом знаке — нет (круглые скобки), при нестрогом — да (квадратные скобки).
- Запишите ответ промежутками и проверьте одну точку подстановкой.
Разобранные примеры
Два корня, решение между ними
Решите неравенство \(2x^2 - 5x - 3 < 0\).
\(a = 2 > 0\) — ветви параболы вверх.
\(D = 25 + 24 = 49\), \(x = \dfrac{5 \pm 7}{4}\), то есть \(x_1 = -\dfrac12\), \(x_2 = 3\).
Ниже оси \(x\) парабола между корнями. Знак строгий, корни не входят: \(x \in \left(-\dfrac12;\ 3\right)\).
Проверка: при \(x = 0\) получаем \(-3 < 0\) — верно, и \(0\) лежит в найденном промежутке.
Отрицательный коэффициент и D = 0
Решите неравенство \(-x^2 + 6x - 9 < 0\).
\(a = -1 < 0\). Умножим на \(-1\) и сменим знак: \(x^2 - 6x + 9 > 0\).
\(D = 36 - 36 = 0\), единственный корень \(x = 3\). Трёхчлен равен \((x - 3)^2\): парабола касается оси в точке \(3\) и в остальных точках лежит выше оси.
Значит, неравенство верно при всех \(x\), кроме \(3\).
Сначала преобразовать, потом D < 0
Решите неравенство \((x - 1)(x - 3) + 2 \leqslant 0\).
Раскроем скобки: \(x^2 - 4x + 3 + 2 \leqslant 0\), то есть \(x^2 - 4x + 5 \leqslant 0\).
\(D = 16 - 20 = -4 < 0\), корней нет. Ветви вверх, парабола целиком выше оси: \(x^2 - 4x + 5 > 0\) при любом \(x\). Это видно и так: \(x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1 \geqslant 1\).
Значение никогда не бывает меньше нуля или равным нулю.
Типичные ошибки
Неравенство \(-x^2 + 2x + 8 > 0\) решают «как обычно»: корни \(-2\) и \(4\), ответ «вне корней». Но ветви этой параболы направлены вниз, и выше оси она как раз между корнями.
Перед эскизом посмотрите на \(a\). Надёжнее всего умножить неравенство на \(-1\), сменив знак: \(x^2 - 2x - 8 < 0\), и решение \((-2;\ 4)\) становится очевидным.
Из \(-3x^2 + x + 2 \geqslant 0\) пишут \(3x^2 - x - 2 \geqslant 0\). При умножении на отрицательное число знак неравенства обязан смениться, иначе получится другое неравенство с другим ответом.
\(-3x^2 + x + 2 \geqslant 0 \;\Leftrightarrow\; 3x^2 - x - 2 \leqslant 0\). Корни \(-\dfrac23\) и \(1\), ответ \(\left[-\dfrac23;\ 1\right]\).
Отсутствие корней значит лишь, что парабола не пересекает ось. Она может лежать целиком выше оси — тогда неравенство \(> 0\) верно при всех \(x\).
При \(D < 0\) ответ определяется знаком \(a\) и знаком неравенства: если \(a > 0\), то \(ax^2 + bx + c > 0\) — любое \(x\), а \(ax^2 + bx + c < 0\) — решений нет. При \(a < 0\) — наоборот.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Каково множество решений неравенства \(x^2 - 9 < 0\)?
Показать ответ
Ответ: А) (−3; 3)
Нули \(-3\) и \(3\), ветви вверх — ниже оси парабола между нулями.
-
Какие неравенства верны при любом значении \(x\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Неравенство x² + 1 > 0; В) Неравенство −x² − 4 < 0; Г) Неравенство x² + x + 1 ≥ 0
\(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\) равно нулю при \(x = 1\), поэтому строгое неравенство там не выполнено. У \(x^2 + x + 1\) дискриминант \(D = -3 < 0\) и \(a > 0\) — значения всегда положительны.
-
Сколько целых решений имеет неравенство \(x^2 - 5x + 4 \leqslant 0\)?
Показать ответ
Ответ: 4
Корни 1 и 4, решения — отрезок \([1;\ 4]\), в нём целые 1, 2, 3, 4.
-
У трёхчлена \(ax^2 + bx + c\) коэффициент \(a < 0\) и \(D < 0\). Каково множество решений неравенства \(ax^2 + bx + c < 0\)?
Показать ответ
Ответ: А) Любое число
Ветви вниз и общих точек с осью нет — вся парабола ниже оси \(x\), трёхчлен отрицателен при любом \(x\).
-
Найдите наибольшее целое решение неравенства \(2x^2 - 7x - 4 < 0\).
Показать ответ
Ответ: 3
\(D = 49 + 32 = 81\), корни \(-\dfrac12\) и \(4\). Решения — \(\left(-\dfrac12;\ 4\right)\), число 4 не входит, наибольшее целое — 3.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Решите неравенство \(x^2 - 7x + 10 < 0\).
Подсказка
Найдите корни трёхчлена и вспомните, куда направлены ветви параболы.
Решение
Корни уравнения \(x^2 - 7x + 10 = 0\) найдём через дискриминант, \(D = 49 - 40 = 9\), \(x = \dfrac{7 \pm 3}{2}\), то есть \(x_1 = 2\), \(x_2 = 5\).
\(a = 1 > 0\) — ветви вверх, ниже оси \(x\) парабола лежит между корнями. Неравенство строгое, концы не входят.
Ответ
Решите неравенство \(x^2 \geqslant 49\).
Подсказка
Перенесите 49 влево и разложите на множители.
Решение
\(x^2 - 49 \geqslant 0\). Нули трёхчлена: \(x = -7\) и \(x = 7\). Ветви параболы \(y = x^2 - 49\) направлены вверх, выше оси (и на оси) она при \(x \leqslant -7\) и при \(x \geqslant 7\).
Неравенство нестрогое, поэтому \(-7\) и \(7\) входят в ответ.
Ответ
Решите неравенство \(3x^2 + 5x - 2 \geqslant 0\).
Подсказка
Дискриминант — полный квадрат, корни рациональные.
Решение
\(D = 25 + 24 = 49\), \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{6}\), то есть \(x_1 = -2\), \(x_2 = \dfrac13\).
\(a = 3 > 0\) — ветви вверх. Парабола не ниже оси слева от \(-2\) и справа от \(\dfrac13\), корни входят: \(x \in (-\infty;\ -2] \cup \left[\dfrac13;\ +\infty\right)\).
Ответ
Решите неравенство \(-4x^2 + 4x - 1 < 0\).
Подсказка
Умножьте на \(-1\) и посмотрите на дискриминант.
Решение
Умножим на \(-1\) и сменим знак: \(4x^2 - 4x + 1 > 0\), то есть \((2x - 1)^2 > 0\).
\(D = 16 - 16 = 0\), единственный корень \(x = \dfrac12\). Парабола касается оси в этой точке, а в остальных точках лежит выше оси. Квадрат положителен при всех \(x\), кроме \(\dfrac12\).
Ответ
При каких значениях \(m\) уравнение \(x^2 + mx + 4 = 0\) не имеет корней?
Подсказка
Корней нет, когда дискриминант отрицателен. Получится неравенство относительно \(m\).
Решение
\(D = m^2 - 16\). Корней нет при \(D < 0\), то есть \(m^2 - 16 < 0\).
Нули трёхчлена \(m^2 - 16\) — числа \(-4\) и \(4\), ветви параболы вверх, ниже оси она между нулями: \(-4 < m < 4\).
Ответ
Сколько целых чисел входит в область определения функции \(y = \sqrt{6 + x - x^2}\)?
Подсказка
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Решение
Нужно \(6 + x - x^2 \geqslant 0\). Умножим на \(-1\), получим \(x^2 - x - 6 \leqslant 0\).
Корни: \(D = 1 + 24 = 25\), \(x = \dfrac{1 \pm 5}{2}\), то есть \(-2\) и \(3\). Ветви вверх, не выше оси парабола на отрезке \([-2;\ 3]\).
Целые числа отрезка: \(-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3\) — их 6.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на листе горизонтальную линию — «уровень воды» — и параболу-«чашку» ветвями вверх, которая пересекает линию в двух точках. Спросите: где чашка под водой? Между точками пересечения. А где над водой? Снаружи. Теперь поднимите чашку так, чтобы она только касалась линии, а потом — чтобы висела выше. Так ребёнок увидит все три случая: \(D > 0\), \(D = 0\), \(D < 0\). Переверните чашку — получится случай \(a < 0\).
Вопросы для проверки понимания: 1) Как по формуле трёхчлена узнать, куда направлены ветви параболы? 2) Решите \(x^2 - 16 > 0\) и \(x^2 - 16 < 0\) — чем отличаются ответы? 3) Почему неравенство \(x^2 + 5 < 0\) не имеет решений?
На что обратить внимание. Ребёнок должен каждый раз рисовать эскиз параболы, а не угадывать «между корнями или снаружи». Проверьте, что он меняет знак при умножении на \(-1\) и различает круглые и квадратные скобки в ответе. Хорошая привычка — подставить в исходное неравенство одно число из ответа.