Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 340

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что при любом x верно неравенство 2(x + 1)(x − 3) > (x + 5)(x − 7).

Решение

Раскрываем скобки: $$2(x^2 - 2x - 3) > x^2 - 2x - 35$$ , то есть $$2x^2 - 4x - 6 - x^2 + 2x + 35 > 0$$ , $$x^2 - 2x + 29 > 0$$ .

Выделяем полный квадрат: $x^2 - 2x + 29 = (x - 1)^2 + 28 \ge 28 > 0$ при любом $$x$$ . Неравенство доказано.

Ответ

Неравенство сводится к (x − 1)² + 28 > 0 — верно при любом x

Почему так

После переноса всех членов в одну часть получаем квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать, что при любом x верно неравенство 1/4 · (x + 5)(x − 7) ≤ (x + 2)(x − 4).

Решение

Умножаем на 4: $(x + 5)(x - 7) \le 4(x + 2)(x - 4)$ , то есть $x^2 - 2x - 35 \le 4x^2 - 8x - 32$ .

Переносим всё вправо: $0 \le 3x^2 - 6x + 3 = 3(x - 1)^2$ . Это верно при любом $$x$$ (равенство при $$x = 1$$ ).

Ответ

Неравенство сводится к 3(x − 1)² ≥ 0 — верно при любом x

Почему так

Разность частей — полный квадрат, умноженный на положительное число.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-340/