Задача 1
Условие (кратко)
При каких a уравнение (a + 2)x² + 8x + a − 4 = 0 имеет два корня? (повышенной трудности)
Решение
Два корня бывают только у квадратного уравнения, поэтому \(a + 2 \ne 0\), \(a \ne -2\) (при \(a = -2\) уравнение линейное, \(8x - 6 = 0\), — один корень).
Нужно \(D > 0\). \(\dfrac{D}{4} = 16 - (a + 2)(a - 4) = 16 - a^2 + 2a + 8 = -a^2 + 2a + 24 > 0\), то есть \(a^2 - 2a - 24 < 0\).
Корни трёхчлена \(a = 6\) и \(a = -4\), значит \(-4 < a < 6\). Исключаем \(a = -2\).
Ответ
При −4 < a < −2 и −2 < a < 6
Почему так
Квадратное уравнение имеет два корня при положительном дискриминанте; старший коэффициент не должен обращаться в нуль.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».