Задача 1
Условие (кратко)
При каких b уравнение (b − 1)x² + 6x + b − 3 = 0 не имеет корней? (повышенной трудности)
Решение
При \(b = 1\) уравнение линейное, \(6x - 2 = 0\), — корень есть, \(b = 1\) не подходит.
При \(b \ne 1\) корней нет, если \(D < 0\). \(\dfrac{D}{4} = 9 - (b - 1)(b - 3) = 9 - b^2 + 4b - 3 = -b^2 + 4b + 6 < 0\), то есть \(b^2 - 4b - 6 > 0\).
Корни трёхчлена: \(b = 2 \pm \sqrt{4 + 6} = 2 \pm \sqrt{10}\). Ветви вверх, поэтому \(b < 2 - \sqrt{10}\) или \(b > 2 + \sqrt{10}\) (число 1 в эти промежутки не входит).
Ответ
При b < 2 − √10 и при b > 2 + √10
Почему так
Квадратное уравнение не имеет корней при отрицательном дискриминанте; случай нулевого старшего коэффициента проверяют отдельно.
Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».