Задание 344

Пусть \(t = x^2 \ge 0\), тогда \(t^2 - 12t + c = 0\). Исходное уравнение не имеет корней, если у этого уравнения нет неотрицательных корней.

Если \(D \ge 0\), то сумма корней по теореме Виета равна \(12 > 0\), значит хотя бы один корень \(t\) положителен — тогда корни \(x\) есть.

Значит, нужно \(\dfrac{D}{4} = 36 - c < 0\), то есть \(c > 36\).

Пусть \(t = x^2 \ge 0\), тогда \(t^2 + ct + 100 = 0\). Произведение корней равно \(100 > 0\), значит корни (если есть) одного знака, а \(t = 0\) не корень.

1. \(D = c^2 - 400 < 0\), то есть \(-20 < c < 20\): корней \(t\) нет, корней \(x\) тоже.

2. \(D \ge 0\), то есть \(c \le -20\) или \(c \ge 20\). Сумма корней равна \(-c\). При \(c \ge 20\) она отрицательна — оба \(t\) отрицательны, корней \(x\) нет. При \(c \le -20\) оба \(t\) положительны — корни \(x\) есть.

Итак, корней нет при \(c > -20\). Например, при \(c = 20\) получаем \(x^4 + 20x^2 + 100 = (x^2 + 10)^2 > 0\).

В ответах учебника указано «при −20 < c < 20»: там учтён только случай \(D < 0\) и пропущены \(c \ge 20\), когда оба корня \(t\) отрицательны.