Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 345

Задача 1

Условие (кратко)

а) При каких k биквадратное уравнение x⁴ − 13x² + k = 0 имеет четыре корня? (задача-исследование) (повышенной трудности)

Решение

Пусть $$y = x^2$$ , тогда $$y^2 - 13y + k = 0$$ , $$D = 169 - 4k$$ . Сумма корней $$y_1 + y_2 = 13 > 0$$ , произведение $$y_1 y_2 = k$$ .

Четыре корня $$x$$ получаются, когда есть два различных положительных $$y$$ : нужно $$D > 0$$ ( $$k < 42{,}25$$ ) и $$k > 0$$ (корни одного знака, а при сумме 13 — оба положительны).

Значит, $$0 < k < 42{,}25$$ .

Ответ

При 0 < k < 42,25

Почему так

Каждый положительный корень y = x² даёт два корня x, нулевой — один, отрицательный — ни одного.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) При каких k биквадратное уравнение x⁴ − 13x² + k = 0 имеет два корня? (задача-исследование) (повышенной трудности)

Решение

Два корня $$x$$ — ровно одно положительное значение $$y$$ (и нет корня $$y = 0$$ ).

$$D = 0$$ при $$k = 42{,}25$$ , тогда $$y = 6{,}5 > 0$$ , $x = \pm\sqrt{6{,}5}$ — два корня.
$$D > 0$$ и $$k < 0$$ : корни $$y$$ разных знаков, положительный один — два корня $$x$$ .

При $$k = 0$$ получаем $$y = 0$$ и $$y = 13$$ — три корня ( $$0$$ , $\pm\sqrt{13}$ ), не подходит.

Ответ

При k < 0 и при k = 42,25

Почему так

Ровно одно положительное значение y = x² даёт ровно два корня x.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Задача 3

Условие (кратко)

в) При каких k биквадратное уравнение x⁴ − 13x² + k = 0 не имеет корней? (задача-исследование) (повышенной трудности)

Решение

Если $D \ge 0$ , то сумма корней $$y$$ равна $$13 > 0$$ , и хотя бы один корень $$y$$ положителен — корни $$x$$ есть.

Значит, корней нет только при $$D = 169 - 4k < 0$$ , то есть $$k > 42{,}25$$ .

Итог исследования: при $$k < 0$$ — два корня, при $$k = 0$$ — три, при $$0 < k < 42{,}25$$ — четыре, при $$k = 42{,}25$$ — два, при $$k > 42{,}25$$ — корней нет.

Ответ

При k > 42,25

Почему так

При сумме корней y, равной 13, корней нет только при отрицательном дискриминанте.

Подробнее — в теме «Решение неравенств второй степени с одной переменной».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-345/