Главная Учебники Алгебра. 9 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова) Дополнительные упражнения к главе IV Задание 481
Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова
Задание 481
Дополнительные упражнения к главе IV
Задача 1
Условие (кратко)
а) Доказать, что уравнение x² + 4xy + 4y² + 5 = 0 не имеет решений.
Решение
Первые три слагаемых — полный квадрат: \(x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2\) . Уравнение принимает вид
\[(x + 2y)^2 + 5 = 0.\]
При любых
\(x\) и
\(y\) квадрат неотрицателен, поэтому левая часть не меньше 5 и нулю не равна. Решений нет.
Ответ
Решений нет: (x + 2y)² + 5 ≥ 5 > 0
Задача 2
Условие (кратко)
б) Доказать, что уравнение x² − 2xy + 8 + y² = 0 не имеет решений.
Решение
\(x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2\) , поэтому уравнение равносильно
\[(x - y)^2 + 8 = 0.\]
Левая часть при любых
\(x\) ,
\(y\) не меньше 8, значит, решений нет.
Ответ
Решений нет: (x − y)² + 8 ≥ 8 > 0
Задача 3
Условие (кратко)
в) Доказать, что уравнение x² − 2x + y² − 4y + 6 = 0 не имеет решений.
Решение
Выделяем полные квадраты по каждой переменной: \(6 = 1 + 4 + 1\) ,
\[(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + 1 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1 = 0.\]
Сумма двух квадратов и единицы не меньше 1, поэтому нулю не равна. Решений нет.
Ответ
Решений нет: (x − 1)² + (y − 2)² + 1 ≥ 1 > 0
Задача 4
Условие (кратко)
г) Доказать, что уравнение x²y² − 2xy + 3 = 0 не имеет решений.
Решение
Обозначим \(t = xy\) : \(t^2 - 2t + 3 = (t - 1)^2 + 2\) . Уравнение принимает вид
\[(xy - 1)^2 + 2 = 0.\]
Левая часть не меньше 2 при любых
\(x\) ,
\(y\) , значит, решений нет.
Ответ
Решений нет: (xy − 1)² + 2 ≥ 2 > 0
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-481/