Уравнение с двумя переменными и его график

Ручка стоит \(x\) рублей, тетрадь — \(y\) рублей. За 2 ручки и 3 тетради заплатили 100 рублей: \(2x + 3y = 100\). Узнать обе цены по одному такому чеку нельзя. Подходят и \(x = 20\), \(y = 20\), и \(x = 35\), \(y = 10\), и много других пар. В этом главная особенность уравнения с двумя переменными: у него обычно бесконечно много решений.

Решение — это пара чисел

Решение уравнения с двумя переменными — пара значений переменных, которая обращает уравнение в верное равенство. Пару записывают в скобках через точку с запятой. На первом месте стоит переменная, которая раньше по алфавиту: в паре \((x;\ y)\) сначала \(x\), в паре \((a;\ b)\) сначала \(a\).

Например, \((3;\ 1)\) — решение уравнения \(x^2 - y^2 = 8\), ведь \(9 - 1 = 8\). А пара \((1;\ 3)\) решением не является, потому что \(1 - 9 = -8\). Порядок чисел важен.

Степень уравнения

Если обе части уравнения — многочлены, их переносят в одну сторону и приводят к стандартному виду \(P(x, y) = 0\). Степень уравнения — это степень многочлена \(P\), то есть наибольшая из степеней его членов. Степень члена — сумма показателей при \(x\) и \(y\).

• \(3x - 2y = 7\) — уравнение первой степени.
• \(x^2 + y^2 = 25\) и \(xy = 6\) — второй степени: у \(xy\) степень \(1 + 1 = 2\).
• \(x^3y + 2x = 5\) — четвёртой степени.

Равносильные уравнения

Уравнения равносильны, если у них одни и те же решения. Как и с одной переменной, равносильность сохраняется, если перенести слагаемое в другую часть с противоположным знаком или умножить обе части на одно и то же число, не равное нулю. Так уравнение \(2y - 4x = 6\) равносильно уравнению \(y = 2x + 3\). Из второго удобно находить \(y\) по \(x\) и строить график.

График уравнения

График уравнения с двумя переменными — множество всех точек плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Некоторые графики вы уже знаете.

• \(ax + by = c\), где \(a\) или \(b\) не равно нулю, — прямая.
• \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a \ne 0\), — парабола. При \(a > 0\) ветви идут вверх, при \(a < 0\) — вниз.
• \(xy = k\), где \(k \ne 0\), — гипербола. При \(k > 0\) ветви лежат в I и III четвертях, при \(k < 0\) — во II и IV.
• \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где \(r > 0\), — окружность с центром \((a;\ b)\) и радиусом \(r\).

Почему это окружность

Возьмём точку \(M(x;\ y)\) на окружности с центром \(C(a;\ b)\) и радиусом \(r\). Отрезок \(CM\) — гипотенуза прямоугольного треугольника. Его катеты параллельны осям и равны \(|x - a|\) и \(|y - b|\). По теореме Пифагора \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\). Модули пропали, потому что квадрат числа не зависит от знака. Если центр — начало координат, уравнение короче: \(x^2 + y^2 = r^2\).

Обратите внимание на знаки. В уравнении \((x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 16\) центр — точка \((-2;\ 5)\), потому что \(x + 2 = x - (-2)\). Радиус равен \(\sqrt{16} = 4\), а не 16.

Как решать задачи

1. Проверить, решение ли пара. Подставьте первое число вместо \(x\), второе вместо \(y\) и проверьте, верно ли равенство.
2. Найти точки пересечения с осями. Для оси \(x\) подставьте \(y = 0\), для оси \(y\) — \(x = 0\).
3. Узнать вид графика. Выразите \(y\) через \(x\) или приведите уравнение к одному из видов выше. Если есть \(x^2\) и \(y^2\) с одинаковыми коэффициентами, выделите полные квадраты — получится окружность.
4. Составить уравнение окружности. Найдите центр \((a;\ b)\) и квадрат радиуса. Если известна точка окружности, \(r^2\) — это сумма квадратов разностей её координат и координат центра.
5. Построить график. Прямую — по двум точкам; параболу — по вершине и 4–6 точкам; гиперболу — по таблице с \(x\) разных знаков; окружность — циркулем от центра.