Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 482

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что уравнение x² + y² + 2x + 1 = 0 имеет единственное решение.

Решение

$$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$$ , поэтому уравнение равносильно

\[(x + 1)^2 + y^2 = 0.\]

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только когда оба равны нулю:

\(x + 1 = 0\)

\(y = 0\)

. Значит, решение одно — пара

(-1;\ 0)

Ответ

Единственное решение (−1; 0)

Почему так

Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждый квадрат равен нулю.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать, что уравнение x² − 2x + y² + 4y + 5 = 0 имеет единственное решение.

Решение

$$5 = 1 + 4$$ , поэтому

\[(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 0.\]

Это возможно, только если

\(x - 1 = 0\)

\(y + 2 = 0\)

. Единственное решение —

(1;\ -2)

Ответ

Единственное решение (1; −2)

Почему так

Выделяем полные квадраты: сумма квадратов равна нулю, только если оба равны нулю.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-482/