Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 483

Задача 1

Условие (кратко)

а) Составить уравнение, графиком которого является пара прямых y = x + 5 и y = x − 5.

Решение

Точка лежит на одной из прямых, если $$y - x - 5 = 0$$ или $$y - x + 5 = 0$$ . Значит, нужное уравнение

(y - x - 5)(y - x + 5) = 0, \quad\text{то есть}\quad (x - y)^2 = 25.

Произведение равно нулю ровно в точках первой или второй прямой.

В ответах учебника указано $$x^2 - y^2 = 25$$ , но это уравнение гиперболы: например, точка $(0;\ 5)$ прямой $$y = x + 5$$ ему не удовлетворяет ( $0 - 25 \ne 25$ ). Верно $$(x - y)^2 = 25$$ .

Ответ

(x − y)² = 25, или (y − x − 5)(y − x + 5) = 0

Почему так

Объединение графиков задаётся уравнением «произведение левых частей равно нулю».

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Составить уравнение, графиком которого являются окружность x² + y² = 4 и пара прямых y = −3 и y = 3.

Решение

Пара прямых $y = \pm 3$ задаётся уравнением $$y^2 - 9 = 0$$ . Объединение с окружностью:

\[(x^2 + y^2 - 4)(y^2 - 9) = 0.\]

Раскрыв скобки, получаем

\(x^2y^2 + y^4 - 9x^2 - 13y^2 + 36 = 0\)

Ответ

(x² + y² − 4)(y² − 9) = 0, то есть y⁴ + x²y² − 9x² − 13y² + 36 = 0

Почему так

Множество точек, лежащих хотя бы на одной из линий, задаётся произведением их уравнений, равным нулю.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Составить уравнение, графиком которого являются гипербола xy = 6 и окружность x² + y² = 1.

Решение

\[(xy - 6)(x^2 + y^2 - 1) = 0.\]

Раскрываем скобки: $$x^3y + xy^3 - xy - 6x^2 - 6y^2 + 6 = 0$$ .

Ответ

(xy − 6)(x² + y² − 1) = 0, то есть x³y + xy³ − xy − 6x² − 6y² + 6 = 0

Почему так

Объединение двух линий задаётся уравнением «произведение равно нулю».

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-483/