Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 487

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти целые решения уравнения x² − y² = 5. (повышенной трудности)

Решение

$$(x - y)(x + y) = 5$$ . Для целых $$x$$ , $$y$$ оба множителя целые, а 5 раскладывается на целые множители так: $1 \cdot 5$ , $5 \cdot 1$ , $$(-1)(-5)$$ , $$(-5)(-1)$$ .

$$x - y = 1$$ , $$x + y = 5$$ : $$x = 3$$ , $$y = 2$$ ;
$$x - y = 5$$ , $$x + y = 1$$ : $$x = 3$$ , $$y = -2$$ ;
$$x - y = -1$$ , $$x + y = -5$$ : $$x = -3$$ , $$y = -2$$ ;
$$x - y = -5$$ , $$x + y = -1$$ : $$x = -3$$ , $$y = 2$$ .

Ответ

(3; 2), (3; −2), (−3; 2), (−3; −2)

Почему так

Раскладываем левую часть на множители и перебираем разложения числа 5 на целые множители.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти целые решения уравнения x² − y² = 8. (повышенной трудности)

Решение

$$(x - y)(x + y) = 8$$ . Числа $$x - y$$ и $$x + y$$ одной чётности (их сумма $$2x$$ чётна), а 8 чётно, значит, оба множителя чётные: $2 \cdot 4$ , $4 \cdot 2$ , $$(-2)(-4)$$ , $$(-4)(-2)$$ .

$$x - y = 2$$ , $$x + y = 4$$ — $(3;\ 1)$ ;
$$x - y = 4$$ , $$x + y = 2$$ — $(3;\ -1)$ ;
$$x - y = -2$$ , $$x + y = -4$$ — $(-3;\ -1)$ ;
$$x - y = -4$$ , $$x + y = -2$$ — $(-3;\ 1)$ .

Разложения $1 \cdot 8$ и $8 \cdot 1$ не подходят: множители разной чётности дают нецелые $$x$$ , $$y$$ .

Ответ

(3; 1), (3; −1), (−3; 1), (−3; −1)

Почему так

Множители x − y и x + y одной чётности, поэтому подходят только разложения 8 на два чётных множителя.

Подробнее — в теме «Уравнение с двумя переменными и его график».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-487/