Задание 488

Первое уравнение: \(y = -x^2 - x\) — парабола, ветви вниз, вершина \(\left(-\tfrac12;\ \tfrac14\right)\), нули \(x = 0\) и \(x = -1\). Второе: \(y = x - 10\) — прямая через точки \((0;\ -10)\) и \((10;\ 0)\).

На рисунке прямая пересекает параболу в двух точках: примерно \((2{,}3;\ -7{,}7)\) и \((-4{,}3;\ -14{,}3)\).

Уточним подстановкой: \(-x^2 - x = x - 10\), \(x^2 + 2x - 10 = 0\), \(x = -1 \pm \sqrt{11}\), \(y = x - 10 = -11 \pm \sqrt{11}\).

Первое уравнение — окружность с центром \((2;\ 0)\) и радиусом 3. Второе: \(y = (x - 2)^2\) — парабола с вершиной \((2;\ 0)\), ветви вверх.

Вершина параболы — центр окружности, ветви выходят из круга вверх: пересечений два, примерно \((0{,}4;\ 2{,}5)\) и \((3{,}6;\ 2{,}5)\).

Уточним: \((x - 2)^2 = y\), поэтому \(y + y^2 = 9\), \(y^2 + y - 9 = 0\), \(y = \dfrac{-1 + \sqrt{37}}{2} \approx 2{,}54\) (отрицательный корень не подходит, ведь \(y = (x-2)^2 \ge 0\)). Тогда \(x = 2 \pm \sqrt{y} \approx 2 \pm 1{,}59\).

Окружность с центром \((0;\ 0)\), радиус 5. Парабола \(y = 2x^2 - 14\): вершина \((0;\ -14)\), нули \(x = \pm\sqrt{7} \approx \pm 2{,}6\), ветви вверх.

Парабола входит в круг снизу и выходит сверху — точек пересечения четыре: \((-3;\ 4)\), \((3;\ 4)\) и примерно \((\pm 2{,}2;\ -4{,}5)\).

Уточним: \(x^2 = \dfrac{y + 14}{2}\), \(\dfrac{y + 14}{2} + y^2 = 25\), \(2y^2 + y - 36 = 0\), \(y = 4\) или \(y = -4{,}5\).

\(y = 4\): \(x^2 = 9\), \(x = \pm 3\). \(y = -4{,}5\): \(x^2 = 4{,}75\), \(x = \pm\dfrac{\sqrt{19}}{2}\).

Окружность с центром \((0;\ 0)\) и радиусом \(\sqrt{10} \approx 3{,}16\). Гипербола \(y = \dfrac{3}{x}\), ветви в I и III четвертях, проходит через \((1;\ 3)\), \((3;\ 1)\), \((-1;\ -3)\), \((-3;\ -1)\).

Все четыре точки лежат и на окружности: \(1 + 9 = 10\). Значит, графики пересекаются в них.

Прямая \(y = 8 - x\) проходит через \((8;\ 0)\) и \((-1;\ 9)\). Окружность — центр \((-1;\ 0)\), радиус 9.

Обе точки прямой лежат на окружности: \((8 + 1)^2 + 0 = 81\) и \(0 + 9^2 = 81\). Это и есть точки пересечения.

Парабола \(y = 4 - x^2\): вершина \((0;\ 4)\), ветви вниз. График \(y = |x|\) — «галочка» из двух лучей \(y = x\) (\(x \ge 0\)) и \(y = -x\) (\(x < 0\)).

Точек пересечения две, они симметричны относительно оси \(Oy\), примерно \((\pm 1{,}6;\ 1{,}6)\).

Уточним при \(x \ge 0\). Уравнение \(4 - x^2 = x\) сводится к \(x^2 + x - 4 = 0\), откуда, \(x = \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2} \approx 1{,}56\), \(y = x\). Вторая точка симметрична.