Что называют решением системы уравнений с двумя переменными?

Значение x, при котором верно первое уравнение

Пару значений, которая подходит хотя бы к одному уравнению

Точку пересечения графика с осью x

Графики уравнений системы — окружность и прямая, которая её касается. Сколько решений у системы?

Бесконечно много

Какой способ быстрее всего приведёт к ответу в системе x^2 + y^2 = 41, x^2 - y^2 = 9?

Сложить и вычесть уравнения

Выразить y из первого уравнения через корень

Графический — он всегда даёт точный ответ

Перемножить уравнения

Решение систем уравнений с двумя переменными

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Уравнение с двумя переменными и его график

Коротко о главном

Решить систему уравнений с двумя переменными — найти все пары $(x;\ y)$ , которые подходят к каждому уравнению. Графически это точки пересечения графиков, аналитически систему решают подстановкой или сложением.

\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ y = x + 2 \end{cases} \;\Rightarrow\; (1;\ 3),\ (-3;\ -1)

Подробное объяснение

Представьте, что по карте ищут место встречи: один друг идёт по кольцевой дорожке парка, другой — по прямой аллее. Встретиться они могут только там, где дорожки пересекаются. С системой уравнений то же самое: каждое уравнение задаёт на плоскости линию, а решения системы — общие точки этих линий.

Что такое решение системы

Решение системы уравнений с двумя переменными — пара чисел $(x;\ y)$ , которая обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Решить систему — найти все такие пары или доказать, что их нет. Пара, подходящая только к одному уравнению, решением не считается.

Графический способ

Строим графики обоих уравнений в одной системе координат. Каждая точка пересечения даёт решение, а число точек пересечения равно числу решений. Полезно помнить графики из прошлых тем: $$x^2 + y^2 = r^2$$ — окружность, $$y = ax^2 + bx + c$$ — парабола, $$xy = k$$ — гипербола, $$ax + by = c$$ — прямая.

Окружность x² + y² = 10 с центром в начале координат и прямая y = x + 2 пересекаются в двух точках A(1; 3) и B(−3; −1) — это и есть решения системы. — Координаты каждой точки пересечения графиков удовлетворяют обоим уравнениям системы.

Минус способа — неточность: по клеткам координаты читаются примерно. Зато он сразу показывает, сколько решений у системы. Например, окружность и прямая могут иметь две общие точки, одну (касание) или ни одной.

Три схемы с окружностью x² + y² = 4 и прямой y = x + b. При b = 0 прямая пересекает окружность в двух точках, при b = 2√2 касается её в одной, при b = 4 проходит мимо. — Число решений системы равно числу общих точек графиков — два, одно или ни одного.

Способ подстановки

Если в системе есть линейное уравнение, из него выражают одну переменную через другую и подставляют во второе уравнение. Получается уравнение с одной переменной — часто квадратное. Найдя его корни, по выражению для второй переменной находят парные значения.

Подстановкой решают и системы вида $$xy = k$$ : выражают $y = \dfrac{k}{x}$ (при $x \ne 0$ ) и получают дробное или биквадратное уравнение.

Способ сложения

Если переменные входят в оба уравнения одинаково, например $$x^2$$ и $$y^2$$ , уравнения складывают или вычитают — одна переменная исчезает. В системе $$x^2 + y^2 = 29$$ , $$x^2 - y^2 = 21$$ сложение сразу даёт $$2x^2 = 50$$ . Иногда уравнение заранее умножают на число, чтобы коэффициенты стали противоположными.

Системы второй степени

Если хотя бы одно уравнение второй степени (есть $$x^2$$ , $$y^2$$ или $$xy$$ ), у системы может быть несколько решений: окружность и парабола пересекаются в четырёх точках, две окружности — в двух. Поэтому важно не потерять ни одной пары и для каждой найденной $$x$$ найти свою $$y$$ .

Как решать задачи

Посмотрите на систему. Есть линейное уравнение — подстановка. Одинаковые $$x^2$$ , $$y^2$$ или $$xy$$ в обоих уравнениях — сложение или вычитание.
Получите уравнение с одной переменной и решите его.
Для каждого корня найдите значение второй переменной — по выражению из линейного уравнения, а не из уравнения второй степени.
Запишите ответ парами $(x;\ y)$ .
Проверьте каждую пару подстановкой в оба уравнения. Если спрашивают только число решений, достаточно графиков или дискриминанта.

Разобранные примеры

База

Окружность и прямая

Условие

Решите систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ y - x = 2. \end{cases}$

Решение

Второе уравнение линейное: $$y = x + 2$$ . Подставим в первое:

$$x^2 + (x + 2)^2 = 10$$ , $$2x^2 + 4x - 6 = 0$$ , $$x^2 + 2x - 3 = 0$$ .

По теореме Виета $$x_1 = 1$$ , $$x_2 = -3$$ . Тогда $$y_1 = 1 + 2 = 3$$ , $$y_2 = -3 + 2 = -1$$ .

Проверка: $$1 + 9 = 10$$ и $$9 + 1 = 10$$ — верно. На рисунке выше это точки $$A$$ и $$B$$ .

Ответ: (1; 3), (−3; −1)

Средний

Сложение уравнений

Условие

Решите систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 29, \\ x^2 - y^2 = 21. \end{cases}$

Решение

Сложим уравнения: $$2x^2 = 50$$ , $$x^2 = 25$$ , $x = \pm 5$ .

Вычтем из первого второе: $$2y^2 = 8$$ , $$y^2 = 4$$ , $y = \pm 2$ .

В уравнения входят только квадраты, поэтому любое из значений $$x$$ подходит к любому из значений $$y$$ . Получаем четыре пары.

Ответ: (5; 2), (5; −2), (−5; 2), (−5; −2)

Сложный

Система без линейного уравнения

Условие

Решите систему $\begin{cases} x^2 + xy = 12, \\ xy + y^2 = 4. \end{cases}$

Решение

Сложим уравнения: $$x^2 + 2xy + y^2 = 16$$ , $$(x + y)^2 = 16$$ , значит, $$x + y = 4$$ или $$x + y = -4$$ .

Первое уравнение запишем как $$x(x + y) = 12$$ .

Если $$x + y = 4$$ , то $$4x = 12$$ , $$x = 3$$ , $$y = 1$$ .

Если $$x + y = -4$$ , то $$-4x = 12$$ , $$x = -3$$ , $$y = -1$$ .

Проверка второго уравнения: $3 \cdot 1 + 1 = 4$ и $$3 + 1 = 4$$ — верно.

Ответ: (3; 1), (−3; −1)

Типичные ошибки

Находят вторую переменную из уравнения второй степени и получают лишние пары

Почему неверно

В системе $$x^2 + y^2 = 10$$ , $$y = x + 2$$ нашли $$x = 1$$ и подставили в первое уравнение: $$y^2 = 9$$ , $y = \pm 3$ . Пара $(1;\ -3)$ подходит к окружности, но не к прямой: $-3 \ne 1 + 2$ . Это не решение системы.

Как правильно

Вторую переменную находят из выражения, полученного при подстановке, — здесь $$y = x + 2$$ . А в конце каждую пару проверяют подстановкой в оба уравнения.

Записывают ответ отдельными числами

Почему неверно

Ответ « $$x = 1$$ , $$x = -3$$ , $$y = 3$$ , $$y = -1$$ » не показывает, какое $$y$$ идёт с каким $$x$$ . Из него можно собрать и неверную пару $(1;\ -1)$ .

Как правильно

Решение системы — пара. Записывайте ответ парами: $(1;\ 3)$ , $(-3;\ -1)$ или $$x_1 = 1$$ , $$y_1 = 3$$ ; $$x_2 = -3$$ , $$y_2 = -1$$ .

Считают ответ, снятый с графика, точным

Почему неверно

По рисунку координаты читаются с точностью до клетки. Точка, похожая на $(1{,}5;\ 3{,}2)$ , на самом деле может быть $\left(\dfrac{3}{2};\ \dfrac{13}{4}\right)$ или вообще иррациональной.

Как правильно

Графический способ используйте, чтобы понять, сколько решений и где они примерно. Точные значения находите подстановкой или сложением, а найденные по графику точки проверяйте подстановкой.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Решите систему уравнений x + y = 7, xy = 10.

Подсказка

Выразите y = 7 − x и подставьте во второе уравнение.

Решение

Из первого уравнения $$y = 7 - x$$ . Подставим во второе: $$x(7 - x) = 10$$ , $$x^2 - 7x + 10 = 0$$ .

По теореме Виета $$x_1 = 2$$ , $$x_2 = 5$$ . Тогда $$y_1 = 7 - 2 = 5$$ , $$y_2 = 7 - 5 = 2$$ .

Ответ

(2; 5), (5; 2)

База Задача 2

Найдите точки пересечения параболы y = x² и прямой y = 2x + 3.

Подсказка

Приравняйте правые части, x² = 2x + 3.

Решение

Координаты общих точек — решения системы $\begin{cases} y = x^2, \\ y = 2x + 3. \end{cases}$

Приравняем правые части: $$x^2 = 2x + 3$$ , $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ , $$x_1 = 3$$ , $$x_2 = -1$$ .

$$y_1 = 3^2 = 9$$ , $$y_2 = (-1)^2 = 1$$ .

Ответ

(3; 9), (−1; 1)

Средний Задача 3

Решите систему уравнений x² + y² = 25, x + y = 7.

Подсказка

Подставьте y = 7 − x в первое уравнение.

Решение

$$y = 7 - x$$ , тогда $$x^2 + (7 - x)^2 = 25$$ , $$2x^2 - 14x + 24 = 0$$ , $$x^2 - 7x + 12 = 0$$ .

$$x_1 = 3$$ , $$x_2 = 4$$ ; $$y_1 = 4$$ , $$y_2 = 3$$ .

Ответ

(3; 4), (4; 3)

Средний Задача 4

Решите способом сложения систему 2x² + y² = 22, x² − y² = 5.

Подсказка

После сложения уравнений y² пропадёт.

Решение

Сложим уравнения: $$3x^2 = 27$$ , $$x^2 = 9$$ , $x = \pm 3$ .

Из второго уравнения $$y^2 = x^2 - 5 = 4$$ , $y = \pm 2$ .

Каждое значение $$x$$ сочетается с каждым значением $$y$$ — четыре решения.

Ответ

(3; 2), (3; −2), (−3; 2), (−3; −2)

Сложный Задача 5

Решите систему уравнений xy = 6, x² + y² = 13.

Подсказка

Прибавьте к первому уравнению удвоенное второе и вычтите — получатся (x + y)² и (x − y)².

Решение

Запишем систему как $$x^2 + y^2 = 13$$ , $$2xy = 12$$ .

Сложим: $$(x + y)^2 = 25$$ , $x + y = \pm 5$ . Вычтем: $$(x - y)^2 = 1$$ , $x - y = \pm 1$ .

Четыре линейные системы дают пары $(3;\ 2)$ , $(2;\ 3)$ , $(-2;\ -3)$ , $(-3;\ -2)$ .

Ответ

(3; 2), (2; 3), (−2; −3), (−3; −2)

Сложный Задача 6

При каких значениях b система x² + y² = 8, x + y = b имеет ровно одно решение?

Подсказка

После подстановки y = b − x получится квадратное уравнение. Одно решение — когда его дискриминант равен нулю.

Решение

$$y = b - x$$ , тогда $$x^2 + (b - x)^2 = 8$$ , $$2x^2 - 2bx + b^2 - 8 = 0$$ .

$$D = 4b^2 - 8(b^2 - 8) = 64 - 4b^2$$ . Одно решение, если $$D = 0$$ , то есть $$b^2 = 16$$ , $b = \pm 4$ .

Геометрически: прямая $$x + y = b$$ касается окружности радиуса $2\sqrt{2}$ .

Ответ

b = −4 или b = 4

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку, начертите оси, циркулем окружность радиусом 5 клеток с центром в начале координат и по линейке прямую через две точки. Попросите ребёнка назвать координаты точек пересечения и проверить их в обоих уравнениях. Затем скажите: «А теперь найдём эти же точки без рисунка» — и решите систему подстановкой. Совпадение ответов показывает, что оба способа ищут одно и то же.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему пара, которая подходит только к одному уравнению, не решение системы? 2) Сколько решений может быть у системы «окружность и прямая» и как это видно на рисунке? 3) Какой способ выбрать для системы $$x^2 + y^2 = 20$$ , $$x^2 - y^2 = 12$$ и почему?

На что обратить внимание. Ответ — всегда пары чисел, и для каждой найденной $$x$$ должна быть своя $$y$$ . Хорошая привычка — проверять каждую пару в обоих уравнениях: это занимает минуту и ловит большинство ошибок.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 9 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 20	384, 385, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 393, 394, 395, 396, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411