Задача 1
Условие (кратко)
Сколько решений может иметь система x² + y² = r², y = −x² + 4, где r > 0? (повышенной трудности)
Решение
Из второго уравнения \(x^2 = 4 - y\) (поэтому \(y \le 4\)). Подставим в первое:
\[4 - y + y^2 = r^2, \quad y^2 - y + 4 - r^2 = 0.\]
Каждому корню \(y < 4\) соответствуют две точки (\(x = \pm\sqrt{4 - y}\)), корню \(y = 4\) — одна (\(x = 0\)).
\(D = 1 - 4(4 - r^2) = 4r^2 - 15\), корни \(y = \dfrac{1 \pm \sqrt{4r^2 - 15}}{2}\).
- \(r < \dfrac{\sqrt{15}}{2}\): \(D < 0\), решений нет (окружность внутри «арки» параболы).
- \(r = \dfrac{\sqrt{15}}{2}\): \(y = \tfrac12\), два решения (окружность касается параболы в двух точках).
- \(\dfrac{\sqrt{15}}{2} < r < 4\): оба корня меньше 4, четыре решения.
- \(r = 4\): \(y = 4\) или \(y = -3\), решения \((0;\ 4)\), \((\pm\sqrt{7};\ -3)\) — три.
- \(r > 4\): больший корень больше 4 и не подходит, остаётся два решения.
Ответ
Нет решений при r < √15/2; два — при r = √15/2 и при r > 4; четыре — при √15/2 < r < 4; три — при r = 4
Почему так
Подстановкой x² = 4 − y сводим систему к квадратному уравнению относительно y и смотрим, сколько его корней не больше 4.
Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».