Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 491

Задача 1

Условие (кратко)

а) При каких m система x² + y² = 5, x − y = m имеет одно решение? (повышенной трудности)

Решение

Подставим $$x = y + m$$ — $$(y + m)^2 + y^2 = 5$$ , то есть

\[2y^2 + 2my + m^2 - 5 = 0.\]

Одно решение — при нулевом дискриминанте:

\dfrac{D}{4} = m^2 - 2(m^2 - 5) = 10 - m^2 = 0

m = \pm\sqrt{10}

Геометрически: прямая $$y = x - m$$ касается окружности радиуса $\sqrt{5}$ .

Ответ

m = −√10 или m = √10

Почему так

Система имеет одно решение, когда прямая касается окружности — дискриминант равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) При каких m система x² + y² = 5, x − y = m имеет два решения? (повышенной трудности)

Решение

Из пункта а) $\dfrac{D}{4} = 10 - m^2$ . Два решения, когда $$D > 0$$ : $$m^2 < 10$$ , то есть $-\sqrt{10} < m < \sqrt{10}$ .

При этом прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ

−√10 < m < √10

Почему так

Два решения — когда дискриминант квадратного уравнения положителен, то есть прямая пересекает окружность.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-491/