Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 492

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему x + 3y = −1, x² + 2xy + y = 3.

Решение

Из первого уравнения $$x = -1 - 3y$$ . Подставляем во второе:

(1 + 3y)^2 - 2y(1 + 3y) + y = 3, \quad 1 + 6y + 9y^2 - 2y - 6y^2 + y - 3 = 0,

3y^2 + 5y - 2 = 0, \quad D = 49, \quad y = \frac{-5 \pm 7}{6}.

y = \dfrac13

\(x = -2\)

;

\(y = -2\)

\(x = 5\)

Ответ

(5; −2), (−2; 1/3)

Почему так

Способ подстановки: выражаем x из линейного уравнения.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему 2x − y = 1, xy − y² + 3x = −1.

Решение

$$y = 2x - 1$$ . Подставляем:

x(2x - 1) - (2x - 1)^2 + 3x + 1 = 0, \quad 2x^2 - x - 4x^2 + 4x - 1 + 3x + 1 = 0,

-2x^2 + 6x = 0, \quad x(x - 3) = 0.

\(x = 0\)

\(y = -1\)

;

\(x = 3\)

\(y = 5\)

Ответ

(0; −1), (3; 5)

Почему так

Способ подстановки: y выражается через x из первого уравнения.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить систему 2x + y − 11 = 0, 2x + 5y − y² − 6 = 0.

Решение

Из первого уравнения $$2x = 11 - y$$ . Подставляем во второе:

11 - y + 5y - y^2 - 6 = 0, \quad y^2 - 4y - 5 = 0, \quad y = 5 \text{ или } y = -1.

\(y = 5\)

\(x = 3\)

;

\(y = -1\)

\(x = 6\)

Ответ

(3; 5), (6; −1)

Почему так

Удобно подставлять сразу выражение для 2x, оно есть в обоих уравнениях.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить систему 2x² − 3y² − 5x − 2y = 26, x − y = 4.

Решение

$$x = y + 4$$ . Подставляем:

\[2(y + 4)^2 - 3y^2 - 5(y + 4) - 2y - 26 = 0,\]

2y^2 + 16y + 32 - 3y^2 - 5y - 20 - 2y - 26 = 0, \quad -y^2 + 9y - 14 = 0,

y^2 - 9y + 14 = 0, \quad y = 2 \text{ или } y = 7.

\(y = 2\)

\(x = 6\)

;

\(y = 7\)

\(x = 11\)

Ответ

(6; 2), (11; 7)

Почему так

Способ подстановки: x = y + 4.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить систему 4x² − 9y² + x − 40y = 19, 2x − 3y = 5.

Решение

Раскладываем $$4x^2 - 9y^2 = (2x - 3y)(2x + 3y) = 5(2x + 3y)$$ . Первое уравнение становится линейным:

10x + 15y + x - 40y = 19, \quad 11x - 25y = 19.

Из второго

x = \dfrac{5 + 3y}{2}

\dfrac{11(5 + 3y)}{2} - 25y = 19

\(55 + 33y - 50y = 38\)

\(y = 1\)

\(x = 4\)

Ответ

(4; 1)

Почему так

Разность квадратов содержит множитель 2x − 3y, равный 5, и система становится линейной.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить систему 3x² + y² + 8x + 13y = 5, x − y + 2 = 0.

Решение

$$y = x + 2$$ . Подставляем:

3x^2 + (x + 2)^2 + 8x + 13(x + 2) - 5 = 0, \quad 4x^2 + 25x + 25 = 0,

D = 625 - 400 = 225, \quad x = \frac{-25 \pm 15}{8}.

x = -\dfrac54

y = \dfrac34

;

\(x = -5\)

\(y = -3\)

Ответ

(−1,25; 0,75), (−5; −3)

Почему так

Способ подстановки: из линейного уравнения y = x + 2.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-492/