Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 497

Дополнительные упражнения к главе IV

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему (x + y)(x − y) = 0, 2x − y = 1. (повышенной трудности)

Решение

Первое уравнение распадается: $$y = -x$$ или $$y = x$$ .

$$y = x$$ : $$2x - x = 1$$ , $$x = 1$$ , $(1;\ 1)$ .
$$y = -x$$ : $$3x = 1$$ , $x = \dfrac13$ , $\left(\dfrac13;\ -\dfrac13\right)$ .

Ответ

(1; 1), (1/3; −1/3)

Почему так

Произведение равно нулю — система распадается на две более простые.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему x² + y² = 100, (x − 7y)(x + 7y) = 0. (повышенной трудности)

Решение

$$x = 7y$$ или $$x = -7y$$ . В обоих случаях $$x^2 = 49y^2$$ , и первое уравнение даёт $$50y^2 = 100$$ , $y = \pm\sqrt2$ .

$$x = 7y$$ — $(7\sqrt2;\ \sqrt2)$ , $(-7\sqrt2;\ -\sqrt2)$ ;
$$x = -7y$$ — $(-7\sqrt2;\ \sqrt2)$ , $(7\sqrt2;\ -\sqrt2)$ .

Ответ

(7√2; √2), (−7√2; −√2), (−7√2; √2), (7√2; −√2)

Почему так

Второе уравнение распадается на две прямые x = ±7y.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить систему x² + y² = 25, (x − 3)(y − 5) = 0. (повышенной трудности)

Решение

$$x = 3$$ : $$y^2 = 16$$ , $y = \pm 4$ — решения $(3;\ 4)$ и $(3;\ -4)$ .
$$y = 5$$ : $$x^2 = 0$$ , $$x = 0$$ — решение $(0;\ 5)$ .

Ответ

(3; 4), (3; −4), (0; 5)

Почему так

Второе уравнение распадается на x = 3 или y = 5.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить систему x² − y² = 50, x(y + 1) = 0. (повышенной трудности)

Решение

$$x = 0$$ : $$-y^2 = 50$$ — решений нет.
$$y = -1$$ : $$x^2 = 51$$ , $x = \pm\sqrt{51}$ .

Ответ

(√51; −1), (−√51; −1)

Почему так

Второе уравнение распадается на x = 0 или y = −1; первый случай решений не даёт.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-497/