Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Когда оба уравнения системы второй степени, подстановка часто приводит к уравнению четвёртой степени. Помогают приёмы: разложить уравнение на множители, сложить или вычесть уравнения, для однородного уравнения ввести \(t = \dfrac{x}{y}\), для симметричной системы — \(u = x + y\) и \(v = xy\).
Подробное объяснение
Систему, где одно уравнение линейное, решают подстановкой: выражают \(y\) через \(x\) и получают квадратное уравнение. Но если оба уравнения второй степени, выразить переменную обычно не получается без корней, а подстановка даёт уравнение четвёртой степени. Поэтому сначала стоит присмотреться к системе: часто её можно упростить одним ходом.
Разложение на множители
Если одно уравнение можно записать в виде \(A \cdot B = 0\), система распадается на две: в одной \(A = 0\), в другой \(B = 0\), а второе уравнение берут то же. Такой набор систем называют совокупностью. Решения исходной системы — все решения обеих систем вместе. Обычно \(A\) и \(B\) — линейные выражения, и каждая система решается подстановкой. Пара, которая получилась в обеих системах, записывается в ответ один раз.
Сложение и вычитание уравнений
Уравнения можно умножать на числа и складывать — как в системах первой степени. Цели бывают разные: убрать свободный член (тогда остаётся однородное уравнение), убрать \(x^2\) или получить полный квадрат, например \((x + y)^2\) или \((2x - y)^2\). Из \((x + y)^2 = 9\) следуют сразу два случая: \(x + y = 3\) и \(x + y = -3\).
Однородное уравнение и замена t = x/y
Уравнение \(ax^2 + bxy + cy^2 = 0\) называют однородным: у каждого члена одна и та же степень, вторая. Разделим его на \(y^2\) и получим квадратное уравнение \(at^2 + bt + c = 0\), где \(t = \dfrac{x}{y}\). Нашли \(t\) — значит, нашли, как \(x\) выражается через \(y\), а именно \(x = ty\). Осталось подставить во второе уравнение. Делить на \(y^2\) можно только при \(y \ne 0\), поэтому случай \(y = 0\) (из уравнения тогда \(x = 0\)) проверяют отдельно.
Симметричные системы
Систему называют симметричной, если она не меняется, когда \(x\) и \(y\) меняют местами. Такие системы записываются через сумму и произведение: \(u = x + y\), \(v = xy\). Пригодятся формулы \(x^2 + y^2 = u^2 - 2v\) и \(x^2y + xy^2 = uv\). Найдя \(u\) и \(v\), возвращаемся к \(x\) и \(y\): по теореме, обратной теореме Виета, они — корни уравнения \(t^2 - ut + v = 0\). Если корни \(a\) и \(b\) различны, получаются две пары: \((a;\ b)\) и \((b;\ a)\). Если дискриминант отрицательный, эта пара \(u\), \(v\) решений не даёт.
Деление уравнений
Если левые части имеют общий множитель, например \(x(x - y) = 12\) и \(y(x - y) = 3\), одно уравнение делят на другое: \(\dfrac{x}{y} = 4\). Делить можно, когда правая часть делителя не равна нулю, — тогда и множители слева не нули.
Как решать задачи
- Посмотрите на уравнения: раскладывается ли одно из них на множители, нет ли однородного уравнения, симметрична ли система.
- Если есть произведение, равное нулю, — разбейте систему на совокупность двух систем.
- Если можно сложить или вычесть уравнения так, чтобы исчез свободный член или получился полный квадрат, — сделайте это.
- Однородное уравнение разделите на \(y^2\) и найдите \(t = \dfrac{x}{y}\); случай \(y = 0\) проверьте отдельно.
- Симметричную систему перепишите через \(u = x + y\) и \(v = xy\), решите её, затем для каждой пары \(u\), \(v\) решите \(t^2 - ut + v = 0\).
- Соберите все пары, уберите повторы и проверьте хотя бы одну подстановкой в оба уравнения.
Разобранные примеры
Симметричная система
Решите систему \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3. \end{cases}\)
Система не меняется при перестановке \(x\) и \(y\). Пусть \(u = x + y\). Тогда \(x^2 + y^2 = u^2 - 2xy\), то есть \(u^2 - 6 = 10\), \(u^2 = 16\), \(u = 4\) или \(u = -4\).
Если \(x + y = 4\), \(xy = 3\), то \(x\) и \(y\) — корни \(t^2 - 4t + 3 = 0\), то есть числа \(1\) и \(3\). Пары \((1;\ 3)\) и \((3;\ 1)\).
Если \(x + y = -4\), \(xy = 3\), то \(t^2 + 4t + 3 = 0\), корни \(-1\) и \(-3\). Пары \((-1;\ -3)\) и \((-3;\ -1)\).
На рисунке выше видно: окружность и гипербола пересекаются ровно в этих четырёх точках.
Однородное уравнение
Решите систему \(\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0, \\ x^2 + y^2 = 20. \end{cases}\)
Первое уравнение однородное. Если \(y = 0\), то и \(x = 0\), но \(0 + 0 \ne 20\), поэтому \(y \ne 0\). Делим первое уравнение на \(y^2\) и обозначаем \(t = \dfrac{x}{y}\):
Если \(x = y\): \(2y^2 = 20\), \(y = \pm\sqrt{10}\), пары \((\sqrt{10};\ \sqrt{10})\) и \((-\sqrt{10};\ -\sqrt{10})\).
Если \(x = 2y\): \(5y^2 = 20\), \(y = \pm 2\), пары \((4;\ 2)\) и \((-4;\ -2)\).
Убираем свободный член
Решите систему \(\begin{cases} x^2 + xy = 6, \\ x^2 - y^2 = 3. \end{cases}\)
Умножим второе уравнение на \(2\) и вычтем его из первого. Справа получится \(6 - 6 = 0\):
Это однородное уравнение, оно раскладывается на множители: \((x - 2y)(x + y) = 0\).
Если \(x = -y\), первое уравнение даёт \(y^2 - y^2 = 6\), то есть \(0 = 6\) — решений нет.
Если \(x = 2y\): \(4y^2 + 2y^2 = 6\), \(y^2 = 1\), \(y = \pm 1\), \(x = \pm 2\).
Проверка для \((2;\ 1)\) даёт \(4 + 2 = 6\), \(4 - 1 = 3\).
Типичные ошибки
Деление на выражение, которое может быть нулём, иногда теряет решения. Например, в системе \(x^2 - 4xy + 3y^2 = 0\), \(x^2 + y = 0\) пара \((0;\ 0)\) — решение, а после деления на \(y^2\) её уже не найти.
Перед делением на \(y^2\) отдельно разберите \(y = 0\): тогда из однородного уравнения \(x = 0\), и пару \((0;\ 0)\) подставьте во второе уравнение. Подошла — запишите в ответ.
Из \((x + y)^2 = 16\) следует не только \(x + y = 4\), но и \(x + y = -4\). Если взять один знак, половина решений пропадёт.
После извлечения корня из квадрата всегда пишите «плюс-минус» и разбирайте оба случая. Отрицательная сумма часто даёт ещё две пары.
Если \(x + y = 5\) и \(xy = 6\), то числа — \(2\) и \(3\), но в каком порядке, неизвестно: подходят и \(x = 2\), \(y = 3\), и \(x = 3\), \(y = 2\).
Для симметричной системы каждая пара различных корней уравнения \(t^2 - ut + v = 0\) даёт два решения: \((a;\ b)\) и \((b;\ a)\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какую замену удобнее всего сделать в системе \(x^2 + y^2 = 20\), \(x + y = 6\)?
Показать ответ
Ответ: А) $u = x + y$, $v = xy$
Система симметричная — при перестановке \(x\) и \(y\) не меняется. Для таких систем удобны новые переменные \(u = x + y\) и \(v = xy\), а \(x^2 + y^2 = u^2 - 2v\). Подстановка тоже сработает, но длиннее.
-
Какие системы симметричные (не меняются, если поменять \(x\) и \(y\) местами)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) $x^2 + y^2 = 5$, $xy = 2$; Б) $x + y + xy = 7$, $x^2 + y^2 = 10$; Г) $x^2 + 2y = 6$, $y^2 + 2x = 6$
В третьей системе \(x^2 - y^2\) превращается в \(y^2 - x^2\) — другое уравнение. В четвёртой уравнения меняются местами, а сама система остаётся той же.
-
Как выразить \(x^2 + y^2\) через \(u = x + y\) и \(v = xy\)?
Показать ответ
Ответ: А) $u^2 - 2v$
\((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\), поэтому \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = u^2 - 2v\).
-
Известно, что \(x + y = 5\) и \(xy = 4\). Найдите \(x^2 + y^2\).
Показать ответ
Ответ: 17
\(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 25 - 8 = 17\).
-
Решая систему с уравнением \(x^2 - 5xy + 6y^2 = 0\), его делят на \(y^2\). Что обязательно сделать отдельно?
Показать ответ
Ответ: А) Проверить, нет ли решений с $y = 0$
На ноль делить нельзя. При \(y = 0\) уравнение даёт \(x = 0\), и пару \((0;\ 0)\) нужно отдельно подставить во второе уравнение системы — иначе можно потерять решение.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Решите систему x² + y² = 17, xy = 4.
Подсказка
Найдите (x + y)² = x² + y² + 2xy. Не забудьте, что сумма x + y может быть отрицательной.
Решение
Система симметричная. Пусть \(u = x + y\), \(v = xy = 4\). Тогда \(x^2 + y^2 = u^2 - 2v\), откуда \(u^2 - 8 = 17\), \(u^2 = 25\), \(u = 5\) или \(u = -5\).
Если \(x + y = 5\), \(xy = 4\), то \(x\) и \(y\) — корни уравнения \(t^2 - 5t + 4 = 0\), то есть \(1\) и \(4\). Получаем пары \((1;\ 4)\) и \((4;\ 1)\).
Если \(x + y = -5\), \(xy = 4\), то \(t^2 + 5t + 4 = 0\), \(t = -1\) или \(t = -4\), это пары \((-1;\ -4)\) и \((-4;\ -1)\).
Ответ
Решите систему (x − 2y)(x + y) = 0, x² + y² = 20.
Подсказка
Произведение равно нулю, когда x = 2y или x = −y. Решите две системы.
Решение
Система равносильна совокупности двух систем: \(\begin{cases} x = 2y, \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}\) и \(\begin{cases} x = -y, \\ x^2 + y^2 = 20. \end{cases}\)
В первой: \(4y^2 + y^2 = 20\), \(y^2 = 4\), \(y = \pm 2\), \(x = \pm 4\). Пары \((4;\ 2)\) и \((-4;\ -2)\).
Во второй: \(2y^2 = 20\), \(y^2 = 10\), \(y = \pm\sqrt{10}\), \(x = \mp\sqrt{10}\). Пары \((-\sqrt{10};\ \sqrt{10})\) и \((\sqrt{10};\ -\sqrt{10})\).
Ответ
Решите систему x² + y² = 13, x + y + xy = 11.
Подсказка
Введите u = x + y, v = xy. Тогда x² + y² = u² − 2v.
Решение
Пусть \(u = x + y\), \(v = xy\). Получаем систему \(\begin{cases} u^2 - 2v = 13, \\ u + v = 11. \end{cases}\)
Из второго \(v = 11 - u\). Подставляем: \(u^2 - 22 + 2u = 13\), \(u^2 + 2u - 35 = 0\), \(u = 5\) или \(u = -7\).
При \(u = 5\), \(v = 6\) получаем \(t^2 - 5t + 6 = 0\), \(t = 2\) или \(t = 3\) — пары \((2;\ 3)\) и \((3;\ 2)\).
При \(u = -7\), \(v = 18\) получаем \(t^2 + 7t + 18 = 0\), дискриминант \(49 - 72 < 0\) — решений нет.
Ответ
Решите систему 2x² − 5xy + 2y² = 0, x² + y² = 5.
Подсказка
Первое уравнение однородное. Разделите его на y² и обозначьте x/y = t.
Решение
Если \(y = 0\), то из первого уравнения \(x = 0\), но пара \((0;\ 0)\) не подходит ко второму. Значит, \(y \ne 0\), и первое уравнение можно разделить на \(y^2\). Получим \(2t^2 - 5t + 2 = 0\), где \(t = \dfrac{x}{y}\). Корни: \(t = 2\) и \(t = \dfrac{1}{2}\).
Если \(x = 2y\), то \(5y^2 = 5\), \(y = \pm 1\), \(x = \pm 2\).
Если \(x = \dfrac{y}{2}\), то \(\dfrac{y^2}{4} + y^2 = 5\), \(y^2 = 4\), \(y = \pm 2\), \(x = \pm 1\).
Ответ
Решите систему x² − xy = 12, xy − y² = 3.
Подсказка
Вынесите общий множитель в каждом уравнении и разделите одно уравнение на другое.
Решение
Запишем систему как \(\begin{cases} x(x - y) = 12, \\ y(x - y) = 3. \end{cases}\) Правые части не нули, поэтому \(x - y \ne 0\) и \(y \ne 0\).
Разделим первое уравнение на второе: \(\dfrac{x}{y} = 4\), то есть \(x = 4y\).
Подставим во второе: \(y(4y - y) = 3\), \(3y^2 = 3\), \(y = \pm 1\). Тогда \(x = \pm 4\).
Проверка: \(16 - 4 = 12\) и \(4 - 1 = 3\).
Ответ
Решите систему x² + 4xy + 4y² = 25, x² − 4xy + 4y² = 9.
Подсказка
Левые части — полные квадраты (x + 2y)² и (x − 2y)². Каждая скобка может быть и положительной, и отрицательной.
Решение
Система равносильна \(\begin{cases} (x + 2y)^2 = 25, \\ (x - 2y)^2 = 9, \end{cases}\) то есть \(x + 2y = \pm 5\), \(x - 2y = \pm 3\) — четыре линейные системы.
Складывая и вычитая уравнения каждой из них, находим \(x = \dfrac{(x + 2y) + (x - 2y)}{2}\) и \(y = \dfrac{(x + 2y) - (x - 2y)}{4}\).
Суммы \(5\) и \(3\) дают \(x = 4\), \(y = 0{,}5\); суммы \(5\) и \(-3\) дают \(x = 1\), \(y = 2\); суммы \(-5\) и \(3\) дают \(x = -1\), \(y = -2\); суммы \(-5\) и \(-3\) дают \(x = -4\), \(y = -0{,}5\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Загадайте ребёнку два числа: «их сумма 7, произведение 12». Он быстро угадает 3 и 4 — и заметит, что подходит и порядок 4 и 3. Это и есть симметричная система: зная сумму и произведение, числа находят из уравнения \(t^2 - 7t + 12 = 0\). Покажите, что \(x^2 + y^2\) тоже выражается через сумму и произведение: \(49 - 24 = 25 = 9 + 16\). Вопросы для проверки понимания: 1) Какую систему называют симметричной и какие новые переменные в ней вводят? 2) Почему перед делением однородного уравнения на \(y^2\) нужно проверить \(y = 0\)? 3) Сколько решений может дать одна пара значений \(u = x + y\), \(v = xy\)? На что обратить внимание. Главная потеря баллов здесь — пропущенные решения: забытый знак «минус» у суммы, переставленная пара, отброшенный случай \(y = 0\). Пусть ребёнок в конце пересчитает решения и проверит одно подстановкой.