Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 501

Дополнительные упражнения к главе IV

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему x² + y² + x + y = 18, x² − y² + x − y = 6. (повышенной трудности)

Решение

Складываем: $$2x^2 + 2x = 24$$ , $$x^2 + x - 12 = 0$$ , $$x = 3$$ или $$x = -4$$ .

Вычитаем: $$2y^2 + 2y = 12$$ , $$y^2 + y - 6 = 0$$ , $$y = 2$$ или $$y = -3$$ .

Любое найденное $$x$$ сочетается с любым $$y$$ (сложение и вычитание дают равносильную систему).

Ответ

(3; 2), (3; −3), (−4; 2), (−4; −3)

Почему так

Сумма и разность уравнений дают по уравнению с одной переменной.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему x²y² + xy = 72, x + y = 6. (повышенной трудности)

Решение

$$t = xy$$ : $$t^2 + t - 72 = 0$$ , $$t = 8$$ или $$t = -9$$ .

$$xy = 8$$ , $$x + y = 6$$ : $$x$$ , $$y$$ — корни $$z^2 - 6z + 8 = 0$$ , это 2 и 4.
$$xy = -9$$ , $$x + y = 6$$ : $$z^2 - 6z - 9 = 0$$ , $z = 3 \pm 3\sqrt2$ .

Ответ

(2; 4), (4; 2), (3 − 3√2; 3 + 3√2), (3 + 3√2; 3 − 3√2)

Почему так

Замена t = xy, затем по сумме и произведению находим x и y.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить систему (x + y)² − 2(x + y) = 15, x + xy + y = 11. (повышенной трудности)

Решение

$$u = x + y$$ : $$u^2 - 2u - 15 = 0$$ , $$u = 5$$ или $$u = -3$$ .

$$u = 5$$ : $$xy = 11 - 5 = 6$$ , $$z^2 - 5z + 6 = 0$$ , $$z = 2$$ или $$3$$ .
$$u = -3$$ : $$xy = 14$$ , $$z^2 + 3z + 14 = 0$$ , $$D = 9 - 56 < 0$$ — решений нет.

Ответ

(2; 3), (3; 2)

Почему так

Замена u = x + y; x и y — корни квадратного уравнения по сумме и произведению.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить систему (x + y)² − 4(x + y) = 45, (x − y)² − 2(x − y) = 3. (повышенной трудности)

Решение

$$u = x + y$$ : $$u^2 - 4u - 45 = 0$$ , $$u = 9$$ или $$u = -5$$ .

$$v = x - y$$ : $$v^2 - 2v - 3 = 0$$ , $$v = 3$$ или $$v = -1$$ .

$x = \dfrac{u + v}{2}$ , $y = \dfrac{u - v}{2}$ :

$$u = 9$$ , $$v = 3$$ — $(6;\ 3)$ ; $$u = 9$$ , $$v = -1$$ — $(4;\ 5)$ ;
$$u = -5$$ , $$v = 3$$ — $(-1;\ -4)$ ; $$u = -5$$ , $$v = -1$$ — $(-3;\ -2)$ .

Ответ

(6; 3), (4; 5), (−1; −4), (−3; −2)

Почему так

Две независимые замены u = x + y и v = x − y.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-501/