Задача 1
Условие (кратко)
Произведение ax² − 2x + b и x² + ax − 1 — многочлен 4-й степени с коэффициентами 8 при x² и −2 при x. Найти a и b. (повышенной трудности)
Решение
Соберём коэффициенты при \(x^2\) и \(x\) в произведении \((ax^2 - 2x + b)(x^2 + ax - 1)\):
- при \(x^2\): \(ax^2 \cdot (-1) + (-2x)\cdot ax + b \cdot x^2\), то есть \(-a - 2a + b = b - 3a\);
- при \(x\) — \((-2x)\cdot(-1) + b \cdot ax\), то есть \(2 + ab\).
Система: \(b - 3a = 8\), \(2 + ab = -2\). Подставим \(b = 8 + 3a\): \(a(8 + 3a) = -4\), \(3a^2 + 8a + 4 = 0\), \(a = \dfrac{-8 \pm 4}{6}\).
\(a = -2\): \(b = 2\); \(a = -\dfrac23\): \(b = 6\). При обоих \(a \ne 0\), степень равна 4.
Ответ
a = −2, b = 2 или a = −2/3, b = 6
Почему так
Приравниваем коэффициенты произведения к данным числам и решаем систему.
Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».