Задача 1
Условие (кратко)
Диагональ прямоугольника 15 см. Если одну сторону уменьшить на 6 см, а другую на 8 см, периметр уменьшится в 3 раза. Найти стороны.
Решение
Дано
- \(x^2 + y^2 = 15^2\)
- \(2(x + y) = 3 \cdot 2(x - 6 + y - 8)\)
Найти
- \(x\)
- \(y\)
Из второго: \(x + y = 3(x + y) - 42\), \(x + y = 21\). Тогда \(2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2) = 441 - 225 = 216\), \(xy = 108\).
\(x\) и \(y\) — корни \(t^2 - 21t + 108 = 0\): \(t = 9\) и \(t = 12\). Стороны после уменьшения \(12 - 6 = 6\) и \(9 - 8 = 1\) (или \(9 - 6 = 3\) и \(12 - 8 = 4\)) положительны.
Ответ
9 см и 12 см
Почему так
По теореме Пифагора и условию о периметре составляем систему; удобно найти сумму и произведение сторон.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».