Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Если в задаче удобно ввести две неизвестные, по условию составляют два уравнения — систему. Когда хотя бы одно уравнение второй степени (есть \(x^2\), \(xy\) или дроби с неизвестными), систему обычно решают подстановкой, а потом отбирают решения, которые подходят по смыслу.
Подробное объяснение
Представьте, что вам сказали: «У прямоугольного участка периметр 46 м, а площадь 120 м²». Чтобы найти длину и ширину, можно взять одну неизвестную и выразить другую через неё. Но часто проще и понятнее обозначить сразу обе: длина \(x\) м, ширина \(y\) м. Тогда каждое предложение условия превращается в своё уравнение: \(2x + 2y = 46\) и \(xy = 120\).
Две неизвестные — две связи
Сколько неизвестных обозначили, столько независимых связей нужно найти в условии. Обычно они видны прямо в тексте: «сумма равна…», «на 7 больше…», «произведение равно…». Иногда одну связь даёт известный факт: теорема Пифагора для прямоугольного треугольника, формула пути \(s = vt\), формула работы, плотность \(m = \rho V\), процент от числа.
Уравнение второй степени появляется, когда неизвестные перемножаются (площадь \(xy\), путь \(vt\)), возводятся в квадрат (теорема Пифагора) или стоят в знаменателе (время \(\dfrac{s}{v}\), производительность \(\dfrac{1}{t}\)).
Как решают такую систему
Чаще всего одно уравнение линейное, например \(x + y = 23\). Из него выражают одну неизвестную, \(y = 23 - x\), и подставляют во второе. Получается квадратное уравнение с одной неизвестной — его решают через дискриминант. Затем по найденным \(x\) находят \(y\).
Полезный приём для пар «сумма и произведение»: если \(x + y = s\) и \(xy = p\), то \(x\) и \(y\) — корни уравнения \(t^2 - st + p = 0\). А если известны сумма и сумма квадратов, то \(xy = \dfrac{(x + y)^2 - (x^2 + y^2)}{2}\).
Отбор по смыслу
Система — это только модель. Она может дать пары, которые математически верны, но не подходят задаче: отрицательная скорость, нулевая цифра десятков, дробное число людей, процент в 1250 % годовых. Такие решения отбрасывают и обязательно пишут почему. Бывает и так, что подходят оба решения: у прямоугольника стороны 15 и 8 и стороны 8 и 15 — это один и тот же прямоугольник, а в некоторых задачах получаются два разных ответа.
Как решать задачи
- Прочитайте условие и решите, что обозначить за \(x\) и \(y\). Запишите это словами и с единицами: «пусть скорость первого \(x\) км/ч».
- Запишите ограничения по смыслу: \(x > 0\), \(x\) — натуральное и т. п.
- Найдите в условии две связи и запишите их уравнениями. Объедините в систему.
- Решите систему, обычно подстановкой. Найдите все пары \((x; y)\).
- Отберите пары, подходящие по смыслу, и проверьте их по условию задачи.
- Запишите ответ на тот вопрос, который задан: иногда нужны не \(x\) и \(y\), а, например, площадь \(\dfrac{xy}{2}\).
Разобранные примеры
Числа по сумме и сумме квадратов
Сумма двух чисел равна 15, а сумма их квадратов равна 113. Найдите эти числа.
- сумма чисел 15
- сумма квадратов 113
- числа
Пусть искомые числа \(x\) и \(y\):
\(D = 225 - 224 = 1\), \(x_1 = 8\), \(x_2 = 7\); тогда \(y_1 = 7\), \(y_2 = 8\). Обе пары дают одни и те же числа.
Проверка: \(7 + 8 = 15\), \(49 + 64 = 113\).
Катеты прямоугольного треугольника
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один катет на 7 см длиннее другого. Найдите катеты.
- гипотенуза 17 см
- разность катетов 7 см
- катеты
Пусть больший катет \(x\) см, меньший \(y\) см, \(x > 0\), \(y > 0\). По условию и по теореме Пифагора:
\(D = 49 + 480 = 529\), \(y = \dfrac{-7 \pm 23}{2}\), \(y_1 = 8\), \(y_2 = -15\). Длина отрицательной быть не может, поэтому \(y = 8\), \(x = 15\).
Проверка: \(15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 = 17^2\).
Две трубы наполняют бассейн
Две трубы, работая вместе, наполняют бассейн за 6 ч. Первая труба одна наполняет его на 5 ч быстрее, чем вторая одна. За сколько часов каждая труба наполнит бассейн отдельно?
- вместе — 6 ч
- первая быстрее второй на 5 ч
- время каждой трубы
Пусть первая труба наполняет бассейн за \(x\) ч, вторая — за \(y\) ч. За 1 ч первая наполняет \(\dfrac{1}{x}\) бассейна, вторая \(\dfrac{1}{y}\), вместе \(\dfrac{1}{6}\):
\(D = 49 + 120 = 169\), \(x_1 = 10\), \(x_2 = -3\). Время положительно, значит \(x = 10\), \(y = 15\).
Проверка: \(\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{3 + 2}{30} = \dfrac{1}{6}\).
Типичные ошибки
Система может дать пару с отрицательной скоростью или нулевой цифрой. Математически она верна, но задаче не подходит — такой «ответ» считается ошибкой.
До решения запишите ограничения (\(x > 0\), \(x\) — натуральное), после решения сверьте с ними каждую пару и объясните, почему лишнюю отбросили.
Без этого легко перепутать, кто быстрее, у какой жидкости плотность больше, и составить уравнение «наоборот». К тому же в конце непонятно, какое число что означает.
Первой строкой решения пишите: «Пусть скорость первого пешехода \(x\) км/ч, второго \(y\) км/ч». Каждое уравнение составляйте, глядя на эту строку.
В условии «на 25 мин раньше», а скорость в км/ч. Если подставить 25 вместо \(\dfrac{25}{60}\) ч, получится совсем другое уравнение.
Переводите все величины в одни единицы до составления системы: \(25\) мин \(= \dfrac{5}{12}\) ч, \(3\) ч \(45\) мин \(= \dfrac{15}{4}\) ч.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
В задаче ввели две неизвестные x и y. Сколько уравнений нужно составить по условию, чтобы их найти?
Показать ответ
Ответ: Б) Два
Две неизвестные находят из системы двух уравнений — в условии нужно найти две независимые связи между ними.
-
Система для задачи о скорости x км/ч и времени y ч дала пары (6; 4) и (−8; −3). Что верно?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Ответ задачи — только пара (6; 4); Б) Пару (−8; −3) отбрасывают, потому что скорость и время положительны
Решение системы — ещё не ответ задачи. Отрицательные скорость и время по смыслу невозможны, поэтому остаётся одна пара.
-
Сумма двух чисел равна 10, а их произведение равно 21. Найдите большее из чисел.
Показать ответ
Ответ: 7
Числа — корни уравнения \(t^2 - 10t + 21 = 0\), то есть 3 и 7.
-
Катеты прямоугольного треугольника x см и y см, гипотенуза 13 см. Какое уравнение связывает x и y?
Показать ответ
Ответ: В) Сумма квадратов x² + y² = 169
По теореме Пифагора \(x^2 + y^2 = 13^2 = 169\).
-
Известно, что x + y = 9 и xy = 20. Чему равна сумма x² + y²?
Показать ответ
Ответ: 41
\(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 81 - 40 = 41\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Сумма двух чисел равна 11, а их произведение равно 30. Найдите эти числа.
Подсказка
Обозначьте числа x и y и выразите y из первого уравнения.
Решение
Пусть искомые числа \(x\) и \(y\). Тогда
\(D = 121 - 120 = 1\), \(x_1 = 6\), \(x_2 = 5\). Тогда \(y_1 = 5\), \(y_2 = 6\). Обе пары дают одни и те же два числа.
Ответ
Разность двух натуральных чисел равна 3, а их произведение равно 40. Найдите эти числа.
Подсказка
Если x — большее число, а y — меньшее, то x = y + 3.
Решение
Пусть большее число \(x\), меньшее \(y\):
Число \(-8\) не натуральное, его отбрасываем. Значит, \(y = 5\), \(x = 8\).
Ответ
Площадь прямоугольника равна 60 см², а его диагональ равна 13 см. Найдите стороны прямоугольника.
Подсказка
По теореме Пифагора x² + y² = 169. Найдите (x + y)² = x² + y² + 2xy.
Решение
Пусть стороны прямоугольника \(x\) см и \(y\) см:
Числа с суммой 17 и произведением 60 — корни уравнения \(t^2 - 17t + 60 = 0\), получаем \(t_1 = 5\), \(t_2 = 12\).
Ответ
Два велосипедиста одновременно выехали из посёлка в город, до которого 60 км. Скорость одного на 5 км/ч больше, и он приехал на 1 ч раньше. Найдите скорости велосипедистов.
Подсказка
Время в пути равно 60/x и 60/y, разность времён — 1 ч.
Решение
Пусть скорость медленного велосипедиста \(x\) км/ч, быстрого \(y\) км/ч:
\(D = 25 + 1200 = 1225\), \(x = \dfrac{-5 \pm 35}{2}\), \(x_1 = 15\), \(x_2 = -20\). Скорость положительна, поэтому \(x = 15\), \(y = 20\).
Ответ
Двузначное число в 4 раза больше суммы своих цифр и в 3 раза больше их произведения. Найдите это число.
Подсказка
Запишите число как 10a + b, где a — цифра десятков, b — цифра единиц.
Решение
Пусть цифра десятков \(a\), единиц \(b\), число \(10a + b\):
Цифра десятков двузначного числа не равна нулю, значит \(a = 2\), \(b = 4\). Проверка: \(24 = 4 \cdot 6\) и \(24 = 3 \cdot 8\).
Ответ
Площадь прямоугольника 120 см². Если длину уменьшить на 2 см, а ширину увеличить на 2 см, площадь увеличится на 10 см². Найдите длину и ширину.
Подсказка
Раскройте скобки в (x − 2)(y + 2) = 130 и используйте, что xy = 120.
Решение
Пусть длина \(x\) см, ширина \(y\) см:
Тогда \((y + 7)y = 120\), \(y^2 + 7y - 120 = 0\), \(D = 49 + 480 = 529\), \(y_1 = 8\), \(y_2 = -15\). Ширина положительна: \(y = 8\), \(x = 15\).
Проверка: \(13 \cdot 10 = 130\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги и скажите: «Я задумал прямоугольник: периметр 20 см, площадь 24 см². Какие у него стороны?» Пусть ребёнок обозначит стороны \(x\) и \(y\) и запишет два уравнения: \(x + y = 10\) и \(xy = 24\). Подбором или подстановкой он найдёт 6 и 4. Потом спросите, почему не подходит, например, \(x = -2\) — это и есть отбор по смыслу.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему для двух неизвестных нужно два уравнения? 2) Откуда в задаче на прямоугольный треугольник берётся уравнение \(x^2 + y^2 = c^2\)? 3) Какие решения системы нельзя брать в ответ задачи о скорости?
На что обратить внимание. Ребёнок должен в начале решения словами записать, что обозначено за \(x\) и \(y\), перевести единицы (минуты в часы) и в конце проверить ответ по условию, а не только по системе.