Задача 1
Условие (кратко)
Расстояние между городами 270 км, два поезда выходят навстречу и встречаются через 3 ч. На весь путь один тратит на 1 ч 21 мин больше другого. Найти скорости поездов.
Решение
Дано
- \(s = 270\) км
- \(t_{\text{вст}} = 3\) ч
- разница времени \(1\) ч \(21\) мин \(= 1{,}35\) ч
Найти
- \(v_1\)
- \(v_2\) (\(v_1 > v_2\))
\(3(v_1 + v_2) = 270\), \(v_1 + v_2 = 90\); \(\dfrac{270}{v_2} - \dfrac{270}{v_1} = 1{,}35\).
Подставим \(v_1 = 90 - v_2\) и получим \(270(90 - 2v_2) = 1{,}35 v_2(90 - v_2)\). Делим на 1,35: \(200(90 - 2v_2) = 90v_2 - v_2^2\),
\[v_2^2 - 490v_2 + 18\,000 = 0, \quad D = 168\,100 = 410^2, \quad v_2 = \frac{490 \pm 410}{2}.\]
\(v_2 = 450\) не подходит (\(v_2 < 90\)), значит, \(v_2 = 40\) км/ч, \(v_1 = 50\) км/ч.
Ответ
50 км/ч и 40 км/ч
Почему так
Скорость сближения равна сумме скоростей; разница времён даёт второе уравнение.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».