Задача 1
Условие (кратко)
Туристы идут навстречу из A и B; первый вышел на 6 ч позже и до встречи прошёл на 12 км меньше. После встречи первый шёл до B 8 ч, второй до A 9 ч. Скорости? (повышенной трудности)
Решение
Дано
- скорости первого \(u\)
- второго \(v\) км/ч; после встречи первый шёл 8 ч
- второй 9 ч; второй вышел на 6 ч раньше и прошёл до встречи на 12 км больше
Найти
- \(u\)
- \(v\)
До встречи первый прошёл \(9v\) (это путь второго после встречи), второй — \(8u\). Условия:
\[8u - 9v = 12, \qquad \frac{8u}{v} - \frac{9v}{u} = 6.\]
Пусть \(k = \dfrac{u}{v}\), тогда \(8k - \dfrac9k = 6\), \(8k^2 - 6k - 9 = 0\), \(k = \dfrac{6 \pm 18}{16}\), \(k > 0\), поэтому \(k = \dfrac32\).
\(u = 1{,}5v\): \(12v - 9v = 12\), \(v = 4\), \(u = 6\). Проверка: до встречи первый шёл \(36 : 6 = 6\) ч, второй \(48 : 4 = 12\) ч — на 6 ч больше.
Ответ
Первый 6 км/ч, второй 4 км/ч
Почему так
Путь одного после встречи равен пути другого до встречи; разница времени в пути даёт второе уравнение.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».