Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 518

Задача 1

Условие (кратко)

а) Какое множество точек задаётся неравенством x² + y² − 4x − 8y ≤ 0? (повышенной трудности)

Решение

Выделяем полные квадраты:

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 8y + 16) \le 20, \quad (x - 2)^2 + (y - 4)^2 \le 20.

Это круг с центром

(2;\ 4)

и радиусом

\sqrt{20} = 2\sqrt5

, вместе с границей. Он проходит через начало координат.

Ответ

Круг с центром (2; 4) и радиусом 2√5 (√20), включая границу

Почему так

После выделения полных квадратов неравенство принимает вид (x − a)² + (y − b)² ≤ r².

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Какое множество точек задаётся неравенством x² − 6x + y + 4 > 0? (повышенной трудности)

Решение

$$y > -x^2 + 6x - 4 = -(x - 3)^2 + 5$$ .

Граница — парабола с вершиной $(3;\ 5)$ , ветви вниз, нули $x = 3 \pm \sqrt5$ . Она не входит (неравенство строгое). Решения — точки выше параболы.

Ответ

Точки, лежащие выше параболы y = −(x − 3)² + 5 (сама парабола не входит)

Почему так

Выражаем y: неравенство y > f(x) задаёт точки над графиком f.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-518/