Как изображают границу множества решений неравенства x + y < 5?

Пунктирной линией

Границу не рисуют совсем

Жирной точкой на оси x

Какое множество точек задаёт неравенство y ≥qslant x² + 1?

Точки параболы y = x² + 1 и точки выше неё

Только точки ниже параболы y = x² + 1

Только точки параболы y = x² + 1

Полуплоскость выше прямой y = 1

Неравенства с двумя переменными

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Уравнение с двумя переменными и его график

Коротко о главном

Решение неравенства с двумя переменными — пара чисел $(x;\ y)$ , которая обращает его в верное числовое неравенство. Все решения изображают на координатной плоскости: граница — график уравнения, полученного заменой знака неравенства на «=», а нужную сторону выбирают по контрольной точке.

ax + by > c \;\Rightarrow\; \text{полуплоскость}, \qquad x^2 + y^2 \leqslant r^2 \;\Rightarrow\; \text{круг}

Подробное объяснение

Представьте карту, на которой провели границу заповедника. Любая точка карты — это пара координат, и про каждую можно спросить: она внутри заповедника или снаружи? Неравенство с двумя переменными работает так же: оно делит плоскость на «подходящие» и «неподходящие» точки.

Что такое решение

Возьмём неравенство $$x + 3y > 7$$ . Пара $(4;\ 2)$ — решение: $$4 + 6 = 10 > 7$$ . Пара $(1;\ 1)$ — нет: $$1 + 3 = 4$$ , а $$4 > 7$$ неверно. Порядок чисел важен: первым всегда пишут $$x$$ , вторым $$y$$ .

Решений у такого неравенства бесконечно много, перечислить их нельзя. Зато их можно нарисовать: каждая пара — точка, а все решения вместе образуют область на плоскости. Найти два-три отдельных решения легко: задайте $$x$$ , вычислите, какой должен быть $$y$$ , и возьмите $$y$$ чуть больше или меньше.

Граница и две стороны

Если заменить знак неравенства на «=», получится уравнение. Его график — граница множества решений. Он делит плоскость на части, и в каждой части неравенство либо выполняется во всех точках, либо не выполняется ни в одной.

Прямая. Неравенство $$ax + by > c$$ (или $$<$$ ) при $b \ne 0$ задаёт полуплоскость — всё, что по одну сторону от прямой $$ax + by = c$$ . Если выразить $$y$$ , то $$y > kx + m$$ — это точки выше прямой, $$y < kx + m$$ — ниже. Если $$b = 0$$ , граница — вертикальная прямая $x = \dfrac{c}{a}$ , и область лежит левее или правее неё.
Окружность. $$(x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2$$ — точки внутри круга с центром $(a;\ b)$ и радиусом $$r$$ , знак $$>$$ — точки вне круга.
Парабола. $$y > ax^2 + bx + c$$ — точки выше параболы, $$y < ax^2 + bx + c$$ — ниже.

Прямая y = −2x + 4 проведена пунктиром, закрашена полуплоскость ниже неё, где лежит начало координат. Точка O(0; 0) подходит (0 < 4), точка (3; 2) — нет (8 < 4 неверно). — Прямая делит плоскость на две полуплоскости; нужную выбирают по контрольной точке, а при строгом знаке граница — пунктир.

Сплошная или пунктир

Если знак строгий ( $$>$$ или $$<$$ ), точки границы решениями не являются — границу рисуют пунктиром. Если знак нестрогий ( $\geqslant$ или $\leqslant$ ), граница входит в множество решений и рисуется сплошной линией.

Слева закрашен круг радиуса 3 с центром в начале координат, окружность сплошная. Справа закрашена область выше параболы y = x² − 2, парабола пунктиром. В обоих случаях точка O(0; 0) подходит. — Нестрогий знак — граница входит и рисуется сплошной; строгий — граница пунктиром.

Контрольная точка

Самый надёжный способ выбрать сторону — подставить в неравенство одну точку, которая не лежит на границе. Чаще всего берут начало координат $O(0;\ 0)$ : с нулями считать проще всего. Если неравенство верное — закрашиваем ту часть, где эта точка лежит. Если неверное — другую. Когда граница проходит через $$O$$ , берут другую удобную точку, например $(1;\ 0)$ или $(0;\ 1)$ .

Граница вида $$xy = c$$ — гипербола — делит плоскость уже на три части. Тогда проверяют по точке в каждой части.

Как решать задачи

Замените знак неравенства на «=» и поймите, что это за линия: прямая, окружность, парабола, гипербола. Если нужно, выразите $$y$$ или выделите полный квадрат.
Постройте эту линию по нескольким точкам: для прямой — две точки, для окружности — центр и радиус, для параболы — вершина и ещё пара точек.
Выберите вид линии: строгий знак — пунктир, нестрогий — сплошная.
Возьмите контрольную точку, не лежащую на границе, и подставьте её в исходное неравенство.
Закрасьте (или заштрихуйте) ту часть плоскости, где неравенство верно.
Опишите ответ словами: «полуплоскость выше прямой …, прямая входит», «круг с центром … и радиусом …, окружность не входит».

Разобранные примеры

База

Проверить пары и найти свои решения

Условие

Является ли пара $(-1;\ 2)$ решением неравенства $$x^2 - xy + y < 6$$ ? Найдите ещё одно решение этого неравенства.

Решение

Подставим $$x = -1$$ , $$y = 2$$ , получим $(-1)^2 - (-1) \cdot 2 + 2 = 1 + 2 + 2 = 5$ . Неравенство $$5 < 6$$ верное — пара является решением.

Ещё одно решение найдём подбором: при $$x = 0$$ , $$y = 0$$ левая часть равна $$0$$ , а $$0 < 6$$ — верно.

Ответ: Да; например, (0; 0)

Средний

Полуплоскость с пунктирной границей

Условие

Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства $$x - 2y < 4$$ .

Решение

Перенесём $$x$$ вправо, получим $$-2y < 4 - x$$ . Делим на $$-2$$ , знак меняется: $$y > 0{,}5x - 2$$ .

Граница — прямая $$y = 0{,}5x - 2$$ , она проходит через точки $(0;\ -2)$ и $(4;\ 0)$ . Знак строгий — рисуем пунктиром.

Контрольная точка $O(0;\ 0)$ даёт $$0 - 0 < 4$$ — верно. Закрашиваем полуплоскость, содержащую начало координат, — она выше прямой. Это совпадает с видом $$y > 0{,}5x - 2$$ .

Ответ: Полуплоскость выше прямой y = 0,5x − 2, сама прямая не входит

Сложный

Круг, который сначала надо найти

Условие

Какое множество точек задаёт неравенство $x^2 - 4x + y^2 + 2y \leqslant 4$ ?

Решение

Выделим полные квадраты: $$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$$ , $$y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1$$ .

Неравенство примет вид $(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 \leqslant 4$ , то есть $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 \leqslant 9$ .

Граница — окружность с центром $(2;\ -1)$ и радиусом 3. Знак нестрогий — окружность сплошная и входит в множество.

Контрольная точка — центр $(2;\ -1)$ даёт $0 + 0 \leqslant 9$ — верно, значит, подходят точки внутри круга.

Ответ: Круг с центром (2; −1) и радиусом 3 вместе с окружностью

Типичные ошибки

Путают порядок чисел в паре

Почему неверно

Пару $(3;\ -1)$ проверяют, подставляя $$x = -1$$ , $$y = 3$$ . Для неравенства $$y > 2x$$ это даёт $$3 > -2$$ — «да», хотя на самом деле $$-1 > 6$$ неверно, и пара решением не является.

Как правильно

Первое число пары — всегда $$x$$ (абсцисса), второе — $$y$$ (ордината). Перед подстановкой подпишите: $$x = 3$$ , $$y = -1$$ .

Выражают y и забывают сменить знак

Почему неверно

Из $4x - 2y \geqslant 8$ пишут $y \geqslant 2x - 4$ и закрашивают область выше прямой. Но при делении на $$-2$$ знак неравенства обязан поменяться, и правильная область — ниже прямой.

Как правильно

$-2y \geqslant 8 - 4x$ , делим на $$-2$$ , получаем $y \leqslant 2x - 4$ . После построения обязательно проверьте сторону контрольной точкой: $O(0;\ 0)$ даёт $0 \geqslant 8$ — неверно, значит, начало координат в область не входит.

Рисуют сплошную границу при строгом знаке

Почему неверно

У неравенства $$x^2 + y^2 < 16$$ точки окружности дают $$16 < 16$$ — неверно. Если нарисовать окружность сплошной, получится, что эти точки входят в ответ.

Как правильно

Строгий знак ( $$<$$ , $$>$$ ) — граница пунктиром и в ответе «окружность не входит». Нестрогий ( $\leqslant$ , $\geqslant$ ) — сплошная линия.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Является ли пара чисел $(1;\ -2)$ решением неравенства $$3x - y^2 > -2$$ ?

Подсказка

Подставьте $$x = 1$$ и $$y = -2$$ и сравните получившееся число с $$-2$$ .

Решение

Подставим $$x = 1$$ , $$y = -2$$ , получим $3 \cdot 1 - (-2)^2 = 3 - 4 = -1$ .

Неравенство $$-1 > -2$$ верное, значит, пара является решением.

Ответ

Да, является

База Задача 2

Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства $y \leqslant 2x + 1$ .

Подсказка

Сначала постройте прямую $$y = 2x + 1$$ по двум точкам.

Решение

Граница — прямая $$y = 2x + 1$$ , она проходит через точки $(0;\ 1)$ и $(-0{,}5;\ 0)$ . Знак нестрогий, поэтому прямая входит в множество и рисуется сплошной линией.

Контрольная точка $O(0;\ 0)$ даёт $0 \leqslant 2 \cdot 0 + 1$ , то есть $0 \leqslant 1$ — верно. Закрашиваем полуплоскость, где лежит начало координат, — ниже прямой.

Ответ

Прямая y = 2x + 1 (сплошная) и полуплоскость ниже неё

Средний Задача 3

Изобразите множество решений неравенства $$3x - 2y > 6$$ .

Подсказка

Выразите $$y$$ ; не забудьте, что при делении на отрицательное число знак меняется.

Решение

Перенесём $$3x$$ вправо, получим $$-2y > 6 - 3x$$ . Делим на $$-2$$ и меняем знак: $$y < 1{,}5x - 3$$ .

Граница — прямая $$y = 1{,}5x - 3$$ через точки $(0;\ -3)$ и $(2;\ 0)$ . Знак строгий — рисуем пунктиром.

Контрольная точка $O(0;\ 0)$ даёт $3 \cdot 0 - 2 \cdot 0 > 6$ , то есть $$0 > 6$$ — неверно. Значит, закрашиваем полуплоскость, где начала координат нет, — ниже прямой.

Ответ

Открытая полуплоскость ниже прямой y = 1,5x − 3 (прямая пунктиром)

Средний Задача 4

Задайте неравенством множество точек, лежащих вне круга с центром $(-1;\ 3)$ и радиусом 4, вместе с самой окружностью.

Подсказка

Уравнение окружности с центром $(a;\ b)$ и радиусом $$r$$ — $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$ .

Решение

Окружность: $$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 16$$ . Внутри круга сумма квадратов меньше 16, вне — больше. Окружность входит, поэтому знак нестрогий:

(x + 1)^2 + (y - 3)^2 \geqslant 16.

Ответ

(x + 1)² + (y − 3)² ≥ 16

Сложный Задача 5

Какое множество точек задаёт неравенство $$x^2 + y^2 + 6y < 0$$ ?

Подсказка

Выделите полный квадрат по $$y$$ .

Решение

$$y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9$$ , поэтому неравенство равносильно $$x^2 + (y + 3)^2 < 9$$ .

Это внутренность круга с центром $(0;\ -3)$ и радиусом 3. Знак строгий — окружность не входит, её рисуют пунктиром. Проверка: центр $(0;\ -3)$ даёт $$0 + 9 - 18 = -9 < 0$$ — верно.

Ответ

Внутренность круга с центром (0; −3) и радиусом 3 без окружности

Сложный Задача 6

Сколько точек с целыми координатами удовлетворяют неравенству $x^2 + y^2 \leqslant 2$ ?

Подсказка

Каждая из координат может быть только $$-1$$ , $$0$$ или $$1$$ .

Решение

Если $|x| \geqslant 2$ , то уже $x^2 \geqslant 4 > 2$ . Значит, $$x$$ и $$y$$ берутся из чисел $-1,\ 0,\ 1$ — это $3 \cdot 3 = 9$ пар.

Самая «далёкая» из них, например $(1;\ 1)$ , даёт $1 + 1 = 2 \leqslant 2$ — подходит. Подходят все 9 пар: $(0;\ 0)$ , четыре точки на осях и четыре точки вида $(\pm 1;\ \pm 1)$ .

Ответ

9

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку, нарисуйте оси и прямую, например $$y = x$$ . Попросите ребёнка ставить точки и для каждой говорить, выполнено ли $$y > x$$ . Скоро станет видно: все «да» лежат по одну сторону прямой. Потом нарисуйте окружность циркулем и спросите, где сумма квадратов координат меньше квадрата радиуса — внутри или снаружи.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему у неравенства с двумя переменными решение — пара чисел, а не одно число? 2) Когда границу рисуют пунктиром? 3) Как узнать, какую из двух полуплоскостей закрашивать?

На что обратить внимание. Ребёнок должен всегда проверять сторону контрольной точкой, а не угадывать «выше» или «ниже». Следите, чтобы при делении на отрицательное число он менял знак, а в ответе словами указывал, входит ли граница.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 9 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 23	447, 448, 449, 450, 451, 452, 453, 454, 455, 456, 457, 458, 459, 460